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一、摘要

本文主要讲述了数据归一化（Feature Scaling）的重要性及其方法。首先通过肿瘤大小和发现时间的例子，说明了不同量纲特征在距离计算中可能导致偏差，从而引出数据归一化的必要性。接着，介绍了最值归一化（Normalization）的概念和方法，即将数据映射到0-1之间的尺度，并指出其适用于分布有明显边界的情况。最后，还指出了最值归一化的一个缺点，即受异常值影响较大。

二、数据归一化概念

1. 归一化是指一种简化计算的方式，将数据经过处理之后限定到一定的范围之内，一般都会将数据限定在[0,1]。数据归一化可以加快算法的收敛速度，而且在后续的数据处理上也会比较方便。
2. 数据归一化的重要性：
   1. 数据归一化是机器学习中非常重要的一步，也称为特征缩放。
   2. 归一化的目的是使数据在不同特征之间具有相同的尺度，以便更好地进行分类或其他机器学习任务。
3. 另外，归一化算法是一种去量纲的行为，关于量纲对于计算的影响可以举这样一个例子：使用肿瘤大小（厘米）和发现时间（天）作为特征进行分类。
   
   未归一化时，距离计算主要受发现时间影响，因为时间单位的差异导致数据尺度不同。通过调整时间单位为年，可以使得距离计算更准确地反映肿瘤大小的重要性。归一化的作用就是去除这样的量纲给计算带来的影响。

三、数据归一化实现方法

3.1 最值归一化方法

1. 最值归一化将数据映射到0到1之间。
2. 方法：对每个特征求最大值和最小值，然后使用公式（x - xmin） / (xmax - xmin）进行转换。
   
3. 适用于数据分布有明确边界的情况，如考试成绩或像素值。
4. 缺点：对异常值敏感，可能影响归一化结果。
5. 注意事项：
   在执行归一化的算法时有一个地方需要注意，因为公式 y=(x-MinValue)/(MaxValueMinValue)的分母是 MaxValue-MinValue，如果某一个字段的最大值和最小值是相同的，会出现分母为零的情况。所以对于字段数据全部相同的情况要加以判断，通常来讲如果当前字段全部相等且为非零数值，就转换为 1 来处理。如果当前字段全部数值都是 0，那就直接保留 0。
6. 最值归一化的实现

   • 整型向量数据的归一化代码

     import numpy as np
     # 随机生成向量，其中每个向量的数值是0-100，生成100个
     x = np.random.randint(0,100,size=100)
     # 根据最值归一化公式，实现Int类型数据的归一化
     # 实现最值归一化公式，返回结果是一个向量,其中每一个元素的值就处于[0,1]之间
     (x - np.min(x)) / (np.max(x) - np.min(x))
     

     在jupyter中执行结果：
     

   • 浮点型矩阵数据的归一化代码

     # 生成50x2的矩阵，其中数值都在0-100之间
     X = np.random.randint(0,100,(50,2))
     # 将整型的矩阵转成浮点型矩阵
     X = np.array(X,dtype=float)
     # 将X矩阵数据进行最值归一化，由于矩阵的列数是2列，因此分别需要对矩阵的每一列进行最值归一化处理，如有多列，则使用循环即可
     for col in range(0,2):# 对X中每列进行最值归一化X[:,col] = (X[:,col] - np.min(X[:,col])) / (np.max(X[:,col]) - np.min(X[:,col]))
     # 可以将X矩阵归一化之后的数据绘制出来，验证其中每列数值是否处于[0,1]之间
     import matplotlib.pyplot as plt
     plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
     plt.show()
     

     执行结果：
     
     此时，可以看出图中横纵坐标的数值处于[0,1]之间，说明X矩阵的数据已经完成了最值归一化。

   • 查看X矩阵中的均值和方差

     # 查看X矩阵方差
     [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
     # 查看X矩阵方差
     [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
     

     执行结果：
     

3.2 均值方差归一化方法

1. 均值方差归一化将数据转换为均值为0，方差为1的分布。

2. 方法：用每个特征减去均值，再除以方差。
   
   S为方差，Xmean为均值。

3. 适用于数据分布没有明确边界的情况，如收入分布。

4. 优点：不受异常值影响，使数据分布更加合理。

5. 代码实现过：

   • 实现步骤及效果：

     • 生成随机矩阵并进行均值方差归一化。
     • 步骤：求均值和方差，减去均值，再除以方差。
     • 结果：矩阵中的元素不保证在0到1之间，但均值为0，方差为1。

   • 编写代码

     X = np.random.randint(0,100,(50,2))
     X = np.array(X,dtype=float)
     # 根据均值方差归一化公式，实现X矩阵的均值方差归一化实现代码
     for col in range(0,2):X[:,col] = (X[:,col] - np.mean(X[:,col])) / np.std(X[:,col])
     # 绘制图像查看效果
     plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
     plt.show()
     

     执行效果：
     

   • 查看X矩阵中的均值和方差是否接近或等于0和1：

     • 查看X矩阵的每列数据的均值是否接近或等于0

       # 通过图像查看并不是很直观，因此，我们查看X矩阵的每列数据的均值是否接近或等于0
       [(np.mean(X[:,col])) for col in range(0,2)]
       

       执行结果：
       

       浮点数精度限制：计算机在存储和处理浮点数时存在精度限制。不同编程语言和系统对于浮点数的表示遵循 IEEE 754 标准，常见的单精度浮点数（float）通常有大约 7 位十进制有效数字，双精度浮点数（double）大约有 15 - 16 位十进制有效数字。当一个数的绝对值小于计算机所能表示的最小非零浮点数时，就可能会出现下溢情况，计算机可能会将其当作 0 处理。不过， -1.3322676295501878e - 17 一般不会出现这种情况，大多数计算机环境能正常表示它。
       实际应用场景的误差容忍度：在许多实际的计算和应用中，我们会设定一个误差范围（也称为容差）。如果一个数的绝对值小于这个容差，就可以将其当作 0 处理。例如，在数值计算、物理模拟等领域，为了简化计算或者忽略极小的误差，常常会这么做。以下是 Python 示例代码，演示了如何根据容差判断一个数是否近似为 0：

       num = -1.3322676295501878e-17
       tolerance = 1e-15
       if abs(num) < tolerance:print("在给定容差范围内，该数近似为 0")
       else:print("该数不等于 0")
       

       

     • 查看X矩阵的每列数据的方差是否接近或等于1

       # 通过图像查看并不是很直观，因此，我们查看X矩阵的每列数据的方差是否接近或等于1
       [(np.std(X[:,col])) for col in range(0,2)]
       

       执行结果：