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MVP变换

MVP变换用来描述视图变换的任务，即将虚拟世界中的三维物体映射（变换）到二维坐标中。

MVP变换分为三步：

• 模型变换(model tranformation)：将模型空间转换到世界空间（找个好的地方，把所有人集合在一起，摆个pose）
• 摄像机变换(view tranformation)：将世界空间转换到观察空间（找到一个放相机的位置，往某一个角度去看）
• 投影变换(projection tranformation)：将观察空间转换到裁剪空间（茄子！）

在这之后，还有一个#视口变换

视图变换（View）

视图变换的目的是变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z，即

$$\begin{array}{rl}{M}_{view}& =R_{view}{T}_{view}\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}& 0\\ x_t& y_t& z_t& 0\\ x_{-g}& y_g& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_c\\ 0& 0& 1& -z_c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

定义Camera：

• Camera位置$\vec{e}$
• 观察方向$\hat{g}$
• 视点上方向$\hat{t}$

规定：

• Camera的y轴正方向向上，z轴方向是$-\vec{x}\times \vec{y}$（右手系）
• 对物体进行运动，摄像机会跟随着一起运动保持相对位置不变。

变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z：

1. 把$\vec{e}$移动到标准位置：$T_{view}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_c\\ 0& 0& 1& -z_c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$（因为朝原点移动，所以为负）
2. 旋转$\hat{g}$到-Z ，$\vec{t}$到Y，$\hat{g}\times \vec{t}$到X：$R_{view}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}& 0\\ x_t& y_t& z_t& 0\\ x_{-g}& y_g& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

推导：这个过程是旋转X到$\hat{g}\times \hat{t}$，Y到$\hat{t}$，Z到$-\hat{g}$的逆过程。所以$R_{view}$是这个逆过程的逆矩阵（正交矩阵的逆是转置矩阵）：

模型变换和视图变换经常被一起叫作模型视图变换（ModelView Translation）

投影变换（Projection）

投影变换分为两种：

• 正交投影变换：透视线平行
• 透视投影变换：透视线相交，近大远小

正交投影

$$\begin{array}{rl}{M}_{ortho}& =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{r+L}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

正交投影的核心：用一个立方体框住物体的$[l,r]\times [b,t]\times [f,n]$，把这个立方体变换到标准正方体$[-1,1{]}^3$中。

变换顺序：先移动（中点移动到原点），再缩放（基向量缩放比例为$\frac{2}{长/宽/高}$ ）。

注意事项：

• 右手系：n>f
• OpenGl是左手系

透视投影

$$\begin{array}{rl}{M}_{per}& =M_{ortho}{M}_{persp\to -ortho}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

透视投影的核心：用“远平面”和“近平面”框住物体，先把“远平面”向“近平面“挤压，然后做一次正交投影。
即透视投影分为两步：

• 将透视投影转化为正交投影
• 将正交投影转换到正则立方体

研究挤压：

规定：

• 挤压过程中，近平面和远平面的z值不发生变换（中间要发生变化）
• 挤压过程中，远平面中心原点$(x,y{)}^T$不发生变化

挤压过程中的x,y变化的比例关系：

x同理。
$y^{\prime }=\frac{n}{z}y,x^{\prime }=\frac{n}{z}x$

用齐次坐标描述任一点的坐标变换：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}nx/z\\ ny/z\\ unknown\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{array}\right]\end{array}$$

把这个变换用齐次坐标矩阵表示：
$M(4\times 4)\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]==\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{array}\right]$

根据矩阵乘法，可以写出M的大致形式：
$M=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

代入上面提到的两种点：

• 近平面或远平面上的任一点（令$unknown=n,z=n$）：$M\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ n^2\\ n\end{array}\right]$ 根据矩阵乘法行操作：$M第三行\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=n^2$ 因为不涉及旋转，所以第三行与x,y无关。$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& A& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=n^2$ 即：$An+B=n^2$
• 远平面的原点（令$x=0,y=0,z=f$）：$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ f\\ 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ f^2\\ f\end{array}\right]$ 同理可得：$Af+B=f^2$

综上所述，
$A=n+fB=-nf$

求得变换矩阵为：
$M_{persp\to -ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

得到透视投影矩阵为：
$$\begin{array}{rl}{M}_{per}& =M_{ortho}{M}_{persp\to -ortho}\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

视口变换

视口变换
将处于标准平面映射到屏幕分辨率范围之内，即[-1,1]^2->[0,width]*[0,height], 其中width和height指屏幕分辨率大小

视锥

视锥表示看起来像顶部切割后平行于底部的金字塔的实体形状。这是透视摄像机可以看到和渲染的区域的形状。

定义视锥：

• 长宽比 Aspect
• 垂直的角度 FovY

利用视锥得到物体长宽高：

屏幕（Screen）

• 二维数组，数组元素为像素
• 典型的光栅成像设备

光栅（Raster）

• 德语中的屏幕
• 画在屏幕上

像素（Pixel <- PIcture element）

• 像素是一个颜色均匀的小正方形
• 颜色混合而成（红、绿、蓝）

屏幕空间

认为屏幕左下角是原点，向右是x，向上是y

规定：

• 像素坐标（Pixel’s indices）是(x, y)形式，x, y都是整数。
• 所有的像素都在(0, 0)到(width-1, height-1)之间
• 像素的中心：(x+0.5, y+0.5)
• 整个屏幕覆盖（0，0）to（width，height）

视口变换

要做的事情：
先不考虑z轴，把MVP后处于标准立方体$[-1,1{]}^3$映射到屏幕上。即
$[-1,1{]}^2\to [0,width]\times [0,height]$

总结：把虚拟世界的任意可视物体转换到屏幕：
$M=M_{view}{M}_{per}{M}_{cam}{M}_{model}$