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并查集的核心功能，合并集合，查找元素，这两个最基本的功能相关题目本文不列举了，主要是一些和图相关的：

并查集的核心母题

• 一、连通性检测：
  • 问题：判断在一个图中，任意两点是否连通。
  • 应用：这是并查集最基本的功能，通过 find 操作可以判断两个节点是否属于同一个连通分量。
  • 衍生问题：
    • 判断两点是否在同一个连通分量中。
    • 找出图中有多少个连通分量（即独立的子图）。
    • 在图中动态地添加边，并检查连通性。

无向图，任意两点是否连通 问题代码

（注释中输入输出很清晰了）

• 关键！如果在一个连通分量中~根节点会是一样的 ~find值相同

#include<iostream>
using namespace std;const int MAXN = 100010;
int fa[MAXN];  // 并查集的父节点数组// 初始化，每个节点都是自己的父节点
void init(int n) {for(int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i;
}// 查找根节点，并进行路径压缩
int find(int x) {if (fa[x] != x) {fa[x] = find(fa[x]);  }return fa[x];
}// 合并两个节点所在的集合
void join(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);if(fx != fy)fa[fx] = fy;  // 将其中一个根节点指向另一个
}// 判断两点是否连通bool isConnected(int x, int y) {return find(x) == find(y);
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;  // n为节点数，m为边数init(n);  // 初始化并查集// 读取每条边并进行合并for(int i = 0; i < m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;join(u, v);}// 查询两点是否连通int a, b;cin >> a >> b;if(isConnected(a, b))cout << "Yes, they are connected." << endl;elsecout << "No, they are not connected." << endl;return 0;
}

• 二、连通分量的管理：

  • 问题：管理图中的多个连通分量，支持动态的合并与查询操作。
  • 应用：这是并查集的核心应用，使用 union 操作可以将两个连通分量合并，通过 find 操作查询某个节点所属的连通分量。
  • 衍生问题：
    • 求解有多少个连通分量。
    • 在合并过程中检测图中是否形成了环。
    • 处理动态连通性问题（如动态添加或删除边）。
    • 判断图是否为树（只有一个连通分量且无环）。

求解连通分量个数 问题代码：

• 关键：计算有多少个根节点就可以了，所以遍历所有的点，看有多少个点满足fa[i]==i；

#include<iostream>
using namespace std;const int MAXN = 100010;
int fa[MAXN];  // 并查集的父节点数组// 初始化，每个节点都是自己的父节点
void init(int n) {for(int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i;
}// 查找根节点，并进行路径压缩
int find(int x) {if (fa[x] != x) {fa[x] = find(fa[x]);  }return fa[x];
}// 合并两个节点所在的集合
void join(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);if(fx != fy)fa[fx] = fy;  // 将其中一个根节点指向另一个
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;  // n为节点数，m为边数init(n);  // 初始化并查集// 读取每条边并进行合并for(int i = 0; i < m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;join(u, v);}// 计算连通分量的数量int components = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {if(find(i) == i)  // 如果节点是它自己的父节点，说明它是一个连通分量的根components++;}cout << "Number of connected components: " << components << endl;return 0;
}

• 三、环检测：
  • 问题：判断在无向图中是否存在环。
  • 应用：在合并过程中，如果发现两个节点已经在同一个连通分量中，那么在添加这条边之后会形成环。
  • 衍生问题：
    • 在无向图中检测是否有环。
    • 在最小生成树算法中（Kruskal），通过避免环的方式构造最小生成树。
    • 删除图中冗余的边以防止形成环（如冗余连接问题）。

是否有环 问题代码

• 关键是在join函数中进行判断，正常的逻辑是找到根节点，如果不同就把一个的father指向另一个；
• 而现在是如果相同就说明存在还，如果需要判断的时候就直接返回true就可以啦！

#include<iostream>
using namespace std;const int MAXN = 100010;
int fa[MAXN];  // 并查集的父节点数组// 初始化，每个节点都是自己的父节点
void init(int n) {for(int i = 1; i <= n; i++)fa[i] = i;
}// 查找根节点，并进行路径压缩
int find(int x) {if (fa[x] != x) {fa[x] = find(fa[x]);  }return fa[x];
}// 合并两个节点所在的集合bool join(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);if(fx == fy)return true;  // 如果两个节点的根节点相同，说明形成了环fa[fx] = fy;return false;
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;  // n为节点数，m为边数init(n);  // 初始化并查集bool hasCycle = false;// 读取每条边并进行合并for(int i = 0; i < m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;if(join(u, v)) {hasCycle = true;  // 一旦发现环，标记并停止后续检测}}// 输出是否存在环if(hasCycle)cout << "Graph contains a cycle." << endl;elsecout << "Graph does not contain a cycle." << endl;return 0;
}

例题：

Problem Description
上次Gardon的迷宫城堡小希玩了很久（见Problem B），现在她也想设计一个迷宫让Gardon来走。但是她设计迷宫的思路不一样，首先她认为所有的通道都应该是双向连通的，就是说如果有一个通道连通了房间A和B，那么既可以通过它从房间A走到房间B，也可以通过它从房间B走到房间A，为了提高难度，小希希望任意两个房间有且仅有一条路径可以相通（除非走了回头路）。小希现在把她的设计图给你，让你帮忙判断她的设计图是否符合她的设计思路。比如下面的例子，前两个是符合条件的，但是最后一个却有两种方法从5到达8。

Input
输入包含多组数据，每组数据是一个以0 0结尾的整数对列表，表示了一条通道连接的两个房间的编号。房间的编号至少为1，且不超过100000。每两组数据之间有一个空行。
整个文件以两个-1结尾。

Output
对于输入的每一组数据，输出仅包括一行。如果该迷宫符合小希的思路，那么输出"Yes"，否则输出"No"。

Sample Input
6 8 5 3 5 2 6 4
5 6 0 0

8 1 7 3 6 2 8 9 7 5
7 4 7 8 7 6 0 0

3 8 6 8 6 4
5 3 5 6 5 2 0 0

-1 -1

Sample Output
Yes
Yes
No

• 分析：判断两个点，1.是不是只有一个连通分量（整体是一个连通图）2.是否有环
• 因为在图中使用点不一定是0开始逐一往上，所以需要visit数组来辅助我们判断

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;int vis[1000010], fa[1000010];
int m, n, flag;// 初始化每个节点的父节点为其自身
void init() {for(int i = 1; i < 1000010; i++)fa[i] = i;
}// 查找根节点并进行路径压缩
int find(int x) {return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}// 合并两个节点所属的集合
void join(int x, int y) {int fx = find(x);int fy = find(y);if(fx == fy)flag = 1;  // 出现环elsefa[fx] = fy;
}int main() {while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {if(m == 0 && n == 0) {printf("Yes\n");continue;  // 空树，自动满足条件}if(m == -1 && n == -1) break;  // 结束输入memset(vis, 0, sizeof(vis));  // 重置访问数组init();flag = 0;vis[n] = vis[m] = 1;  // 标记访问过的节点join(n, m);// 继续读入其他边//首先执行 scanf，然后判断 a | b 的值，如果 a 或 b 不为 0，则进入循环。while(scanf("%d%d", &n, &m), n | m) {vis[n] = vis[m] = 1;join(m, n);}int s = 0;// 检查连通分量的数量for(int i = 1; i < 1000010; i++) {if(fa[i] == i && vis[i])s++;if(s > 1) {  // 超过一个连通分量，不是树flag = 1;break;}}// 输出结果printf(flag ? "No\n" : "Yes\n");}return 0;
}