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零、LeetCode 原题

399. 除法求值

一、题目描述

给你一个变量对数组 equations 和一个实数值数组 values 作为已知条件，其中 equations[i] = [Ai, Bi] 和 values[i] 共同表示等式 Ai / Bi = values[i] 。每个 Ai 或 Bi 是一个表示单个变量的字符串。

另有一些以数组 queries 表示的问题，其中 queries[j] = [Cj, Dj] 表示第 j 个问题，请你根据已知条件找出 Cj / Dj = ? 的结果作为答案。

返回 所有问题的答案 。如果存在某个无法确定的答案，则用 -1.0 替代这个答案。如果问题中出现了给定的已知条件中没有出现的字符串，也需要用 -1.0 替代这个答案。

注意：输入总是有效的。你可以假设除法运算中不会出现除数为 0 的情况，且不存在任何矛盾的结果。

注意：未在等式列表中出现的变量是未定义的，因此无法确定它们的答案。

二、测试用例

示例 1：

输入：equations = [["a","b"],["b","c"]], values = [2.0,3.0], queries = [["a","c"],["b","a"],["a","e"],["a","a"],["x","x"]]
输出：[6.00000,0.50000,-1.00000,1.00000,-1.00000]
解释：
条件：a / b = 2.0, b / c = 3.0
问题：a / c = ?, b / a = ?, a / e = ?, a / a = ?, x / x = ?
结果：[6.0, 0.5, -1.0, 1.0, -1.0 ]
注意：x 是未定义的 => -1.0

示例 2：

输入：equations = [["a","b"],["b","c"],["bc","cd"]], values = [1.5,2.5,5.0], queries = [["a","c"],["c","b"],["bc","cd"],["cd","bc"]]
输出：[3.75000,0.40000,5.00000,0.20000]

示例 3：

输入：equations = [["a","b"]], values = [0.5], queries = [["a","b"],["b","a"],["a","c"],["x","y"]]
输出：[0.50000,2.00000,-1.00000,-1.00000]

提示：

1 <= equations.length <= 20
equations[i].length == 2
1 <= Ai.length, Bi.length <= 5
values.length == equations.length
0.0 < values[i] <= 20.0
1 <= queries.length <= 20
queries[i].length == 2
1 <= Cj.length, Dj.length <= 5
Ai, Bi, Cj, Dj 由小写英文字母与数字组成

三、解题思路

3.1 图的路径搜索

1. 基本思路：
     如果将每个 equations 看作 边 ，value 看作 边权，则 queries 相当于查询某条路径的权重和。
2. 具体思路：
   • 构建有向图
   • 路径搜索
     • 如果顶点不存在，则存入 -1 ；
     • 如果顶点相同，则存入 1；
     • 使用深度搜索进行路径搜索，查找该路径并计算权重累加和。

3.2 路径压缩

1. 基本思路：
     就在上一个方法的基础上，进行路径压缩即可。每搜索完一个，将结果保存。
2. 具体思路：
     同上，在最后一步搜索完路径时，保存结果，可以作为下次搜索使用。

四、参考代码

4.1 图的路径搜索

时间复杂度：$\mathrm{O}(k|E|)$【查找 k 条路径，每条路径最坏情况就是遍历所有的边】
空间复杂度：$\mathrm{O}(|E|)$【使用空间有：图的边，图的顶点（最坏2倍边的空间），递归深度（最坏遍历所有边），已搜索顶点集合（最坏搜索过所有顶点）】

class Solution {
public:unordered_map<string, unordered_map<string, double>> m;double dfs(string now, string obj, unordered_set<string>& used) {if (m.count(now) == 0)return 0;if (m[now].count(obj))return m[now][obj];for (const auto& next : m[now]) {if (used.count(next.first))continue;used.emplace(next.first);auto ans = dfs(next.first, obj, used);if (ans)return ans * next.second;}return 0;}vector<double> calcEquation(vector<vector<string>>& equations,vector<double>& values,vector<vector<string>>& queries) {vector<double> ans;for (int i = 0; i < equations.size(); i++) {m[equations[i][0]].emplace(equations[i][1], values[i]);m[equations[i][1]].emplace(equations[i][0], 1 / values[i]);}for (int i = 0; i < queries.size(); i++) {if (m.count(queries[i][0]) == 0 || m.count(queries[i][1]) == 0) {ans.emplace_back(-1.0);} else if (queries[i][0] == queries[i][1]) {ans.emplace_back(1.0);} else {unordered_set<string> used;ans.emplace_back(dfs(queries[i][0], queries[i][1], used));if (ans.back() == 0.0)ans.back() = -1.0;}}return ans;}
};

4.2 路径压缩

时间复杂度：$\mathrm{O}(k\alpha (|E|))$【$\alpha (n)$ 是一个增长很慢的函数，其值都不超过 4】
空间复杂度：$\mathrm{O}(|E|)$

class Solution {
public:unordered_map<string, unordered_map<string, double>> m;double dfs(string now, string obj, unordered_set<string>& used) {if (m.count(now) == 0)return 0;if (m[now].count(obj))return m[now][obj];for (const auto& next : m[now]) {if (used.count(next.first))continue;used.emplace(next.first);auto ans = dfs(next.first, obj, used);if (ans)return ans * next.second;}return 0;}vector<double> calcEquation(vector<vector<string>>& equations,vector<double>& values,vector<vector<string>>& queries) {vector<double> ans;for (int i = 0; i < equations.size(); i++) {m[equations[i][0]].emplace(equations[i][1], values[i]);m[equations[i][1]].emplace(equations[i][0], 1 / values[i]);}for (int i = 0; i < queries.size(); i++) {if (m.count(queries[i][0]) == 0 || m.count(queries[i][1]) == 0) {ans.emplace_back(-1.0);} else if (queries[i][0] == queries[i][1]) {ans.emplace_back(1.0);} else {unordered_set<string> used;ans.emplace_back(dfs(queries[i][0], queries[i][1], used));if (ans.back() == 0.0)ans.back() = -1.0;else{ // 保存结果m[queries[i][0]].emplace(queries[i][1],ans.back()); m[queries[i][1]].emplace(queries[i][0],1/ans.back()); }}}return ans;}
};