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数组：基础概念、存储特性及力扣实战应用

在计算机科学与数学的广袤领域中，数组作为一种极为重要的数据结构，发挥着不可或缺的作用。它就像一个有序的 “数据仓库”，能高效地存储和管理大量数据。接下来，让我们深入了解数组的奥秘。

一、数组的维度与数学表示

（一）向量与一维数组

在数学世界里，向量可表示为\(A = (a_0, a_1, \cdots, a_{n - 1})\)。对应到计算机编程中，这便是一维数组的概念 —— 由n个元素按顺序依次排列而成，每个元素\(a_i\)（\(i = 0, 1, \cdots, n - 1\)）都在数组里有着独一无二的位置。例如，在存储学生成绩时，我们可以创建一个一维数组，数组中的每个元素分别对应一位学生的成绩，方便快捷地对成绩数据进行处理和管理。

（二）矩阵与二维数组

矩阵的数学表达式为\(A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&\cdots&a_{0,n - 1}\\a_{10}&a_{11}&\cdots&a_{1,n - 1}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{m - 1,0}&a_{m - 1,1}&\cdots&a_{m - 1,n - 1}\end{bmatrix}\)。二维数组可视作由m行n列元素构成的矩阵，其中每个元素\(a_{ij}\)（\(i = 0, 1, \cdots, m - 1\)；\(j = 0, 1, \cdots, n - 1\)）都能通过其所在的行和列唯一确定。在表示棋盘状态时，二维数组大显身手，棋盘上每个格子的信息都能精准地存储在对应的数组元素中。

（三）n 维数组的概念拓展

随着维度的增加，数组变得更加复杂和灵活。当数组的下标由n个数组成时，就形成了n维数组。访问这类数组中的元素，需要用到n个索引值。以三维数组为例，它常被用于三维图形处理、气象数据存储（涉及空间的x、y、z坐标以及时间等维度）等场景。依此类推，n维数组能够借助n个下标确定唯一的元素，为处理复杂的数据关系和多维数据集合提供了强大的支持。

二、数组的存储特点

（一）内存连续存储

数组元素在内存中是按顺序连续存储的，这使得计算机在访问数组元素时能够快速定位，大大提高了数据的访问效率。

（二）存储分配方式

不同编程语言的数组存储分配方式有所不同。像C、\(C++\)、\(C\#\)等语言，数组按行进行存储分配；而Fortran语言则是按列进行存储分配。

（三）数组名的特性

数组名代表该数组在内存中的首地址，并且它是一个常量，在程序运行过程中不能被修改。

三、常用数组的存储细节

（一）一维数组

对于一维数组\(a[n]\)，其各元素按照下角标依次存放。例如在\(C\#\)中，我们创建一个整型一维数组int[] a = new int[5];，假设每个元素占用的存储空间为c字节，那么第i个元素的存储地址\(Loc(a[i]) = Loc(a[0]) + i×c\) 。

（二）二维数组

以二维数组\(a[m,n]\)为例，在\(C\#\)中创建int[,] a = new int[2,3];。若每个元素占用c字节，其元素存储地址的计算公式为\(Loc(a[i,j]) = Loc(a[0,0]) + (i×n + j)×c\)。这种存储方式与二维数组的矩阵结构相对应，便于根据行和列的索引快速计算出元素的存储位置。

（三）三维数组

三维数组的存储更为复杂，以\(a[m,n,l]\)为例，如在\(C\#\)中创建int[,,] a = new int[2,3,4];。它的存储规律是第一维下标变化最慢，第三维（最后一维）下标变化最快。每个元素的存储地址计算公式为\(Loc(a[i,j,k]) = Loc(a[0,0,0]) + (i×n×l + j×l + k)×c\)。这种存储顺序符合人们对三维空间的认知逻辑，方便在处理三维数据时进行高效的访问和操作。

四、力扣实战：数组相关算法题解析

（一）最长连续序列（力扣 128 题）

1. 题目描述：给定一个未排序的整数数组nums，要求找出数字连续的最长序列（不要求序列元素在原数组中连续）的长度，并设计实现时间复杂度为\(O(n)\)的算法。
2. 示例
   • 输入：nums = [100,4,200,1,3,2]，输出：4，解释：最长数字连续序列是[1, 2, 3, 4]，长度为4。
   • 输入：nums = [0,3,7,2,5,8,4,6,0,1]，输出：9。
3. 解题思路与代码实现

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python

from typing import Listclass Solution:def longestConsecutive(self, nums: List[int]) -> int:if not nums:  # 增加对空列表的错误处理return 0nums_set = set(nums)  # 使用集合来提高查找速度length = 0for num in nums_set:if num - 1 in nums_set:continuelst1 = self.findBig(num, nums_set, [num])if len(lst1) > length:length = len(lst1)return lengthdef findBig(self, num, nums_set, lst1):while num + 1 in nums_set:lst1.append(num + 1)num += 1return lst1

在这段代码中，首先将数组转换为集合，利用集合查找元素的时间复杂度为\(O(1)\)的特性，提高查找效率。然后遍历集合中的每个元素，若当前元素的前一个数不在集合中，则以此元素为起点，不断寻找连续的数字序列，记录下最长序列的长度并返回。

（二）两数之和（力扣 1 题）

1. 题目描述：给定一个整数数组nums和一个整数目标值target，需要在数组中找出和为目标值target的两个整数，并返回它们的数组下标。假设每种输入只会对应一个答案，且不能使用两次相同的元素，可按任意顺序返回答案。
2. 示例
   • 输入：nums = [2,7,11,15], target = 9，输出：[0,1]，解释：因为nums[0] + nums[1] == 9，所以返回[0, 1]。
   • 输入：nums = [3,2,4], target = 6，输出：[1,2]。
3. 解题思路与代码实现

收起

python

class Solution:def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:# 创建一个字典来存储数值与索引的对应关系num_to_index = {}# 遍历数组一次for i, num in enumerate(nums):# 计算需要的补数complement = target - num# 检查补数是否在字典中if complement in num_to_index:return [num_to_index[complement], i]# 将当前数值和索引存入字典num_to_index[num] = i# 如果没有找到符合条件的数值对，抛出异常raise ValueError("没有找到两个数，使它们的和等于目标值")

此代码通过创建一个字典，在遍历数组的过程中，将每个元素的值和索引存入字典。同时，每次计算当前元素的补数，并检查补数是否在字典中。若存在，则找到了满足条件的两个数，返回它们的索引；若遍历结束仍未找到，则抛出异常。

数组在数据存储和算法设计中占据着核心地位。深入理解数组的概念、存储特性以及在算法题中的应用，能够为我们在编程之路上打下坚实的基础，帮助我们更高效地解决各种复杂的问题。希望通过本文的分享，大家能对数组有更全面、更深入的认识，在编程实践中灵活运用数组知识，提升编程技能。