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Pytorch 复习总结，仅供笔者使用，参考教材：

• 《动手学深度学习》
• Stanford University: Practical Machine Learning

本文主要内容为：Pytorch 多层感知机。

本文先介绍了多层感知机的用法，再就训练过程中经常出现的过拟合现象提出解决办法。

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Pytorch 语法汇总：

• Pytorch 张量的常见运算、线性代数、高等数学、概率论 部分 见 Pytorch 复习总结1；
• Pytorch 线性神经网络 部分 见 Pytorch 复习总结2；
• Pytorch 多层感知机 部分 见 Pytorch 复习总结3；
• Pytorch 深度学习计算 部分 见 Pytorch 复习总结4；
• Pytorch 卷积神经网络 部分 见 Pytorch 复习总结5；
• Pytorch 现代卷积神经网络 部分 见 Pytorch 复习总结6；

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一. 多层感知机

虽然线性模型易于实现和理解、计算成本低、泛化能力强，但是对于一些非线性问题，可能会违反线性模型的单调性。为此，多层感知器引入了隐藏层来克服线性模型的限制，并且加入激活函数以增强网络非线性建模能力。

1. 读取数据集

同 Pytorch 复习总结 2 中 Softmax 回归的数据读取，继续使用 Fashion-MNIST 图像分类数据集：

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transformsdef load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):"""下载Fashion-MNIST数据集并将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="./data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="./data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False))batch_size = 256
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size)

2. 神经网络模型

先将输入的图像展平，然后使用 2 个全连接层进行处理，中间的全连接层需要使用激活函数激活，最后一层全连接层作为输出：

from torch import nn
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784, 256),nn.ReLU(),nn.Linear(256, 10)
)

仍然使用 init_weights() 函数按正态分布初始化所有全连接层的权重：

def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)net.apply(init_weights)

3. 激活函数

上一节使用了 ReLU 函数进行激活，在实际应用中，还可以使用 sigmoid、tanh 等函数激活。ReLU、sigmoid、tanh 函数的梯度可视化如下：

import torch
from matplotlib import pyplot as pltx = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
# y = torch.relu(x)
# y = torch.sigmoid(x)
y = torch.tanh(x)
y.backward(torch.ones_like(x), retain_graph=True)
plt.figure(figsize=(5, 2.5))
plt.plot(x.detach(), x.grad)
plt.show()

4. 损失函数

同 Softmax 回归：

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

5. 优化器

同 Softmax 回归：

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

6. 训练

同 Softmax 回归，可以将训练过程封装成函数：

def accuracy(y_hat, y):"""计算预测正确的数量"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())def train_net(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer):for epoch in range(num_epochs):     # 迭代训练轮次net.train()                     # 将模型设置为训练模式train_loss_sum = 0.0            # 训练损失总和train_acc_sum = 0.0             # 训练准确度总和sample_num = 0                  # 样本数for X, y in train_iter:y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)trainer.zero_grad()l.mean().backward()trainer.step()train_loss_sum += l.sum()train_acc_sum += accuracy(y_hat, y)sample_num += y.numel()train_loss = train_loss_sum / sample_numtrain_acc = train_acc_sum / sample_numnet.eval()                      # 将模型设置为评估模式test_acc_sum = 0.0test_sample_num = 0for X, y in test_iter:test_acc_sum += accuracy(net(X), y)test_sample_num += y.numel()test_acc = test_acc_sum / test_sample_numprint(f'epoch {epoch + 1}, 'f'train loss {train_loss:.4f}, train acc {train_acc:.4f}, 'f'test acc {test_acc:.4f}')num_epochs = 10
train_net(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

二. 过拟合的缓解

当模型过于复杂、训练数据太少、迭代轮数太多时，就会出现过拟合现象。解决过拟合的方法有很多：

• 增加数据量：增加训练数据可以帮助模型更好地学习数据的真实规律，减少过拟合的发生；
• 简化模型：降低模型的复杂度，可以通过减少模型的参数数量、使用正则化等方法来实现；
• 交叉验证：使用交叉验证来评估模型的泛化能力，选择最优的模型；
• 提前停止：即 Dropout，在训练过程中监控模型在验证集上的表现，当验证集误差不再下降甚至开始上升时，及时停止训练，防止模型过拟合；
• 集成学习：使用集成学习方法（如随机森林、梯度提升树等）降低模型的方差，提高泛化能力。

下面介绍几种常用的正则化方法。

1. 权重衰减

权重衰减 (Weight Decay) 通过向损失函数中添加一个惩罚项来减小模型复杂度，以防止过拟合。惩罚项也叫 正则项，通常是权重的平方和（即 L2 范数）或权重的绝对值和（即 L1 范数）乘以一个正则化系数。

以线性回归的损失函数 $L(\mathbf{w},b)$ 为例，使用优化器训练时，在损失函数 $L(\mathbf{w},b)$ 上添加 L2 范数如下：
$$\begin{gathered} L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2 \\ =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2 \end{gathered}$$

损失函数中没有添加偏置 $b$ 的惩罚项，因为一般情况下，网络输出层的偏置项不需要正则化。代入 $\mathbf{w}$ 的参数更新表达式为：
$$\mathbf{w}\leftarrow (1-\eta \lambda )\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)$$

要想对模型进行权重衰减，只需要在实例化优化器时通过 weight_decay 指定权重衰减参数。默认情况下，PyTorch 同时衰减权重和偏移：

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

如果想要只衰减权重，需要指定参数：

params_to_optimize = [{"params": net[0].weight, 'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}
]
trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)

2. Dropout

Dropout 通过在训练过程中随机地将网络 内部 的一部分神经元的输出设置为零，即以一定的概率 “丢弃” 这些神经元。这样可以防止神经元在训练过程中过于依赖其他神经元，从而降低了网络对特定神经元的依赖性，使得网络更具鲁棒性：

通常情况下，Dropout 只在训练过程中使用，不在推理阶段使用，因为推理时模型需要产生确定性的输出。

Dropout 需要在网络中添加 Dropout 层，一般位于激活函数后，并且给定 dropout 概率：

dropout1, dropout2 = 0.2, 0.5net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784, 256),nn.ReLU(),nn.Dropout(dropout1),nn.Linear(256, 256),nn.ReLU(),nn.Dropout(dropout2),nn.Linear(256, 10)
)def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)net.apply(init_weights)

Dropout 概率的设置技巧是靠近输入层的地方设置较低的概率，远离输入层的地方设置较高的概率。