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调和级数为什么发散？
它不是每一项都在变小吗？甚至趋近于 0，为什么总和却是无穷？
我们先来看看调和级数的形式：
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots n=1∑∞n1=1+21+31+41+⋯
🔍 一、确实每一项都在变小，趋近于 0：
是的， 1 n → 0 \frac{1}{n} \to 0 n1→0 随着 n → ∞ n \to \infty n→∞，但是这只是收敛的必要条件，不是充分条件。
⚠️ 换句话说：
a n → 0 是收敛的必要条件，但并不能保证收敛！ a_n \to 0 \quad \text{是收敛的必要条件，但并不能保证收敛！} an→0是收敛的必要条件，但并不能保证收敛！
📌 二、证明调和级数发散（最常见方法）
✅ 方法：比较法 + 分组法
我们来对它进行分组比较：
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ( 1 9 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) \\ &\quad + \left( \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} \right) + \cdots \end{aligned} n=1∑∞n1=1+21+(31+41)+(51+61+71+81)+(91+⋯+161)+⋯
观察每组：
- 第1组： 1 1 1
- 第2组： 1 2 \frac{1}{2} 21
- 第3组： 1 3 + 1 4 > 2 × 1 4 = 1 2 \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} 31+41>2×41=21
- 第4组： 1 5 + ⋯ + 1 8 > 4 × 1 8 = 1 2 \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8} > 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2} 51+⋯+81>4×81=21
- 第5组： 1 9 + ⋯ + 1 16 > 8 × 1 16 = 1 2 \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} > 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2} 91+⋯+161>8×161=21
以此类推，每一组的和都 > 1 2 \frac{1}{2} 21
而这样的组有无限多组，所以整体和 > 无数个 1 2 \frac{1}{2} 21 累加：
∑ n = 1 ∞ 1 n > 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty n=1∑∞n1>1+21+21+21+⋯=∞
✅ 结论
虽然调和级数的项趋近于 0，但趋近得不够快，所以总和会发散。
🎁 附加理解：如果项下降得更快，会不会收敛？
是的！
比如：
- ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21：收敛（这是著名的 Basel 问题，和是 π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6π2）
- ∑ 1 n 1.1 \sum \frac{1}{n^{1.1}} ∑n1.11：也收敛
- ∑ 1 n 0.9 \sum \frac{1}{n^{0.9}} ∑n0.91：发散
这和“p 级数判别法”有关：
∑ n = 1 ∞ 1 n p 当且仅当 p > 1 时收敛 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad\text{当且仅当}\quad p > 1 \text{时收敛} n=1∑∞np1当且仅当p>1时收敛