递归与回溯

To Iterate is Human, to Recurse, Divine.
—L. Peter Deutsch

人理解迭代，神理解递归。
—L. Peter Deutsch

1.什么是递归呢

递归形象描述：

你打开面前这扇门，看到屋里面还有一扇门。
你走过去，发现手中的钥匙还可以打开它，你推开门，发现里面还有一扇门，你继续打开它。
若干次之后，你打开面前的门后，发现只有一间屋子，没有门了。
然后，你开始原路返回，每走回一间屋子，你数一次，走到入口的时候，
你可以回答出你到底用这你把钥匙打开了几扇门。

2.递归算法（Recursion）

• 定义:直接或间接地出现对自身的调用。
• 本质:递归即递进与回归,基本思想就是把规模大的问题转化为规模小的相似的子问题来解决。但必须有一个明确的结束条件(递归出口)
  

//斐波那契
int  f(int n)
{if(n==1)return 1;else  if(n==2)return 1;elsereturn   f(n-1)+f(n-2);
}

利用递归完成的题目特点：

1. 可以将当前问题转换成规模更小的问题，且新问题和原问题解法完全相同
2. 有一个明确的递归边界

3.递归案例

**用递归方法求：**1+2+3+……+n=

递归关系：

f(n)=f(n-1)+n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口

用递归方法求：n!

递归关系：

f(n)=f(n-1)*n; 递归关系
f(1)=1; 递归出口

4.例题

王小二切饼

题目描述：

王小二自夸刀工不错，有人放一张大的煎饼在砧板上，问他：“饼不许离开砧板，切n（1<=n<=100)刀最多能分成几块？

输入格式：

输入切的刀数n

输出格式：

输出切n刀最多切的块数

输入样例：

3

输出样例：

7

解题思路

杨辉三角

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int x,int y)
{printf("调用f(%d,%d)\n",x,y);if(x==y || y==1)return 1;return f(x-1,y-1)+f(x-1,y);
} 
int main()
{int m,n;cin>>m>>n;cout<<f(m,n);return 0;
}

5.程序分析

6.【背】核心代码（模板）

递归模板:
void recursion(大规模){if(end_condition){  //递归出口……return;}else{recursion(小规模); //递进,将大规模转换为小规模solve; //回归}
}

7.总结

1. 递归就是函数自己调用自己
2. 在递归过程中，必须有一个明确的递归结束条件，即递归出口
3. 每一次的函数调用都有自己的变量。
4. 每一次函数调用都会有一次返回。
5. 递归函数中，位于递归调用前的语句和各级被调用函数具有相同的执行顺序。
6. 递归函数中，位于递归调用后的语句和各个被调用函数的顺序相反。

优缺点：
**优点：**实现简单，可读性好；
**缺点：**递归调用，占用空间大；递归太深，易发生栈溢出；可能会出现重复计算的问题(重叠子问题)