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1、题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
（这个题与前一个题的区别是，这个题大数运算，不能用动态规划）
2、VS2019上运行
使用贪心算法
贪心算法
#include <iostream>
using namespace std;class Solution {
public:int cuttingRope(int n) {// 如果 n 小于等于 3，则直接返回 n - 1，因为长度为 2 和 3 时，不剪切乘积最大。if (n <= 3) return n - 1;// 如果 n 等于 4，则直接返回 4，因为长度为 4 时，将其剪成 2x2 的乘积最大。if (n == 4) return 4;long res = 1; // 初始化结果变量为 1，用于计算乘积。while (n > 4){res *= 3; // 每次乘以 3res %= 1000000007; // 取模防止溢出n -= 3; // n 减去 3}// 最后 n 的值只有可能是：2、3、4。// 而 2、3、4 能得到的最大乘积恰恰就是自身值// 因为 2、3 不需要再剪了（剪了反而变小）；// 4 剪成 2x2 是最大的，2x2 恰恰等于 4return res * n % 1000000007;}
};int main() {Solution sol;int n;cout << "Enter the length of the rope: ";cin >> n;int maxProduct = sol.cuttingRope(n);cout << "Maximum product of the rope after cutting is: " << maxProduct << endl;return 0;
}
Enter the length of the rope: 10
Maximum product of the rope after cutting is: 36
3、解题思路
- 为什么选择剪成长度为 3 的绳子？这涉及到一个数学推导：
- 假设将绳子剪成长度为 x 和 n - x，其中 x 为一段的长度，n 为总绳子长度。我们希望求得这种剪法下的乘积最大值。
- 可以证明，当 x = n/3 时，乘积最大。对于长度为 n 的绳子：
- 1.当 n = 3k 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 的三段，此时乘积为 x^3 = (n/3)^3。
2.当 n = 3k + 1 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 和 x + 1 = k + 1 的两段，此时乘积为 x * (x + 1)^2 = (n/3) * ((n/3) + 1)^2。
3.当 n = 3k + 2 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 和 x + 2 = k + 2 的两段，此时乘积为 x * (x + 2) = (n/3) * ((n/3) + 2)。
可以观察到，在 n mod 3 = 0, 1, 2 时，乘积都可以表示为 x 的形式乘以某个因子。而要使乘积最大，我们需要选择 x 为整数，因此选择 x 最接近 n/3，并且取整数部分，即 x = floor(n/3)。