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K最近邻（K-Nearest Neighbors, KNN）理论知识推导

KNN算法是一个简单且直观的分类和回归方法，其基本思想是：给定一个样本点，找到训练集中与其最近的K个样本点，根据这些样本点的类别（分类问题）或值（回归问题）来预测该样本点的类别或值。

距离度量

欧氏距离（Euclidean Distance）

曼哈顿距离（Manhattan Distance）

曼哈顿距离也称为L1距离或城市街区距离，适用于连续型和离散型变量。其计算公式为：

切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

余弦相似度（Cosine Similarity）

余弦相似度用于度量两个向量之间的角度差异，适用于文本数据和高维稀疏数据。其计算公式为：

汉明距离（Hamming Distance）

汉明距离用于度量两个字符串或向量之间不同字符或元素的数量，适用于离散变量。其计算公式为：

import numpy as np
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score# 生成随机多维数据
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(200, 5)
y = np.random.choice([0, 1], size=200)# 分割数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 特征缩放
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)# 使用欧氏距离的KNN模型
knn_euclidean = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3, metric='euclidean')
knn_euclidean.fit(X_train_scaled, y_train)
y_pred_euclidean = knn_euclidean.predict(X_test_scaled)
accuracy_euclidean = accuracy_score(y_test, y_pred_euclidean)# 使用曼哈顿距离的KNN模型
knn_manhattan = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3, metric='manhattan')
knn_manhattan.fit(X_train_scaled, y_train)
y_pred_manhattan = knn_manhattan.predict(X_test_scaled)
accuracy_manhattan = accuracy_score(y_test, y_pred_manhattan)# 使用切比雪夫距离的KNN模型
knn_chebyshev = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3, metric='chebyshev')
knn_chebyshev.fit(X_train_scaled, y_train)
y_pred_chebyshev = knn_chebyshev.predict(X_test_scaled)
accuracy_chebyshev = accuracy_score(y_test, y_pred_chebyshev)print(f'欧氏距离模型的准确率: {accuracy_euclidean}')
print(f'曼哈顿距离模型的准确率: {accuracy_manhattan}')
print(f'切比雪夫距离模型的准确率: {accuracy_chebyshev}')

选择最近的K个邻居

根据距离排序，选择距离最小的K个样本点。

投票或平均

对于分类问题，对这K个邻居的类别进行投票，得票最多的类别作为预测类别；对于回归问题，对这K个邻居的值取平均，作为预测值。

KNN的优缺点：

• 优点：

  • 简单易实现。
  • 不需要模型训练。
  • 对噪声数据不敏感（通过选择合适的K值）。

• 缺点：

  • 计算复杂度高，需要计算所有样本点的距离。
  • 存储复杂度高，需要存储所有训练数据。
  • 对数据的尺度敏感，需要进行标准化处理。

参数解读

• n_neighbors：K值，即选择的最近邻居的数量。
• weights：权重函数，用于预测。常用的有uniform（所有邻居权重相等）和distance（根据距离加权）。
• metric：距离度量方法，默认是欧氏距离。

实施步骤

1. 数据准备：准备训练数据集和测试数据集。
2. 特征标准化：对数据进行标准化处理。
3. 选择K值和距离度量方法：初始化KNN模型。
4. 模型训练：KNN算法不需要训练过程，但需要拟合数据。
5. 预测：对测试数据进行预测，并计算准确率或误差。

• 选择K值：K值越小，模型越复杂；K值越大，模型越简单。一般通过交叉验证选择最佳K值。
• 距离度量方法：常用欧氏距离，选择合适的距离度量方法可以提高模型性能。
• 权重：uniform表示所有邻居权重相同，distance表示距离越近的邻居权重越大。

多维KNN模型

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.model_selection import GridSearchCV# 生成多维数据
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(100, 3) * 100  # 三维特征数据
y = np.random.choice([0, 1], 100)  # 二分类标签# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 分割数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)# 初始化KNN分类模型
knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5)
knn.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = knn.predict(X_test)# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'未优化分类模型的准确率: {accuracy:.2f}')# 使用网格搜索优化KNN分类模型
param_grid = {'n_neighbors': range(1, 21), 'weights': ['uniform', 'distance']}
grid_search = GridSearchCV(KNeighborsClassifier(), param_grid, cv=5)
grid_search.fit(X_train, y_train)best_knn = grid_search.best_estimator_
y_pred_optimized = best_knn.predict(X_test)accuracy_optimized = accuracy_score(y_test, y_pred_optimized)
print(f'优化后分类模型的准确率: {accuracy_optimized:.2f}')# 可视化三维数据分布和预测结果
fig = plt.figure(figsize=(18, 6))# 未优化模型结果
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
ax1.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], X_test[:, 2], c=y_test, marker='o', label='True Labels')
ax1.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], X_test[:, 2], c=y_pred, marker='x', label='Predicted Labels')
ax1.set_title('未优化模型')
ax1.set_xlabel('Feature 1')
ax1.set_ylabel('Feature 2')
ax1.set_zlabel('Feature 3')
ax1.legend()# 优化后模型结果
ax2 = fig.add_subplot(122, projection='3d')
ax2.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], X_test[:, 2], c=y_test, marker='o', label='True Labels')
ax2.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], X_test[:, 2], c=y_pred_optimized, marker='x', label='Predicted Labels')
ax2.set_title('优化后模型')
ax2.set_xlabel('Feature 1')
ax2.set_ylabel('Feature 2')
ax2.set_zlabel('Feature 3')
ax2.legend()plt.show()

可视化展示

警告：D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 26410 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-672A}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)
D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 20248 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-4F18}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)
D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 21270 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-5316}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)
D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 27169 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-6A21}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)
D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 22411 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-578B}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)
D:\PyCharm\PyCharm2024.1.3\plugins\python\helpers\pycharm_matplotlib_backend\backend_interagg.py:80: UserWarning: Glyph 21518 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-540E}) missing from font(s) DejaVu Sans.
  FigureCanvasAgg.draw(self)

结果解释

1. 未优化分类模型：

   • 准确率：显示未优化模型的分类准确率，通常受初始参数设置的影响。
   • 可视化：通过三维散点图展示真实标签和预测标签的分布情况，观察误分类样本的位置。

2. 优化后分类模型：

   • 准确率：通过网格搜索优化K值和距离度量方法后，显示优化后的分类准确率，通常高于未优化模型。
   • 可视化：通过三维散点图展示真实标签和优化后模型的预测标签分布情况，观察误分类样本的位置。

以上实例展示了KNN算法在未优化和优化后的性能差异，通过适当的参数调优，可以显著提升模型的预测效果。