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上涨下跌函数关系

  最近炒股很热，对于股票来说，有个很重要的参数涨跌幅，那么下跌多少才能涨回来？这个不需要太深的知识就可以计算出来，下跌和上涨不是等价的，下跌了50%，需要上涨100%才能追回来。所以下跌与上涨的关系，就特别值得研究了。
  假设下跌了x，那么需要上涨y才能追回来，假设初始为1，那么这个函数关系就是这样的：
$$\begin{array}{r}(1-x)(1+y)=1\\ 1+y=\frac{1}{1-x}\\ y=\frac{1}{1-x}-1\end{array}$$
  那么，如果x=0.5，y=1，那么需要上涨1倍才能追回来。什么时候x=y呢？可以很容易算出来:
$$\begin{array}{r}(1-x)(1+y)=1\\ y=x\\ \to 1-x^2=1\\ \to x=0\end{array}$$

函数图形

  这就是一个残忍的现实，除了0点，y永远大于x，上涨幅度要大于下跌幅度，才能追回来。所以在金融中控制风险比盈利更加重要。在笛卡尔坐标系上可以看出来，下面是我用python写的绘图代码：

import matplotlib.pyplot as plot
import numpy as npif __name__ == "__main__":plot.figure(figsize=[5,5])xarray = np.linspace(0, 0.6, 100, endpoint=False) -0yarray =1/(1-xarray)-1plot.plot(xarray,yarray)plot.plot(xarray, xarray)plot.xlabel("x")plot.ylabel("y")plot.grid(True)plot.gca().set_aspect(1)plot.show()

  函数关系图如下：

数学分析

  光看图像是不严谨的，对这个函数求导，可以知道答案：首先，后面的常数可以忽略，也就是只需要求$y=\frac{1}{1-x}$的导数。然后， 利用商的导数公式：
$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$，其中 $u=1$ 和 $v=1-x$，我们有： $u^{\prime }=0$,$v^{\prime }=\frac{d}{dx}(1-x)=-1$ 代入商的导数公式，得到：
$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }=\frac{-1\cdot (-1)}{(1-x{)}^2}\\ =\frac{1}{(1-x{)}^2}\end{array}$$ 所以，函数 $y=\frac{1}{1-x}-1$ 的导数为 $y^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}\ge 1$。这个导数是大于1的。它的导数图像如下：

  最后希望大家都在股市发财。