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牛客热题：数据流中的中位数

题目链接

数据流中的中位数_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

方法一：直接插入排序

思路

插入：

• 对于每次的插入：
  • 如果序列为零：直接插入
  • 如果序列中的值均小于当前要插入的值：直接插入到序列的尾部
  • 找到序列中第一个比当前要插入的值大的位置，然后将当前的值插入到这个位置，将后续的序列向后挪

计算中位数：

• 对于偶数的情况
  • 我们直接返回第N / 2 和N / 2 - 1 个元素的平均值即可
• 对于奇数的情况
  • 我们直接返回N / 2个元素

代码

#include <vector>
class Solution {
public:void Insert(int num) {int n = v.size();if(n == 0) {v.push_back(num);return ;}else{auto it = lower_bound(v.begin(), v.end(), num);v.insert(it, num);}}double GetMedian() { int n = v.size();if(n == 1) return v[0];if(n % 2 == 1){return v[n / 2];}else return (v[n / 2] + v[n / 2 - 1]) / 2;}private:vector<double> v;};

复杂度

时间复杂度：O($N^2$) ,因为每次插入都需要在前面的元素中遍历找到对应的位置，所以每个元素的插入的时间复杂度是O(N),因此时间复杂度为O($N^2$)

空间复杂度：O(N) , 只额外使用了一个对应的vector容器来存储

方法二：堆

思路

中位数是指：有序数组中中间的那个数。则根据中位数可以把数组分为如下三段:
[0 ... median - 1], [median], [median ... arr.size() - 1]，即[中位数的左边，中位数，中位数的右边]

那么，如果我有个数据结构保留[0…median-1]的数据，并且可以O(1)时间取出最大值，即arr[0...median-1]中的最大值
相对应的，如果我有个数据结构可以保留[median + 1 ... arr.size() - 1] 的数据， 并且可以O(1)时间取出最小值，即
arr[median + 1 ... arr.size() - 1] 中的最小值。
然后，我们把[median]即中位数，随便放到哪个都可以。

假设[0 ... median - 1]的长度为l_len, [median + 1 ... arr.sise() - 1]的长度为 r_len.
1.如果l_len == r_len + 1, 说明，中位数是左边数据结构的最大值
2.如果l_len + 1 == r_len, 说明，中位数是右边数据结构的最小值
3.如果l_len == r_len, 说明，中位数是左边数据结构的最大值与右边数据结构的最小值的平均值。

说了这么多，一个数据结构可以O(1)返回最小值的，其实就是小根堆，O(1)返回最大值的，其实就是大根堆。并且每次插入到堆中的时间复杂度为O(logn)

所以，GetMedian()操作算法过程为：

• 初始化一个大根堆，存中位数左边的数据，一个小根堆，存中位数右边的数据
• 动态维护两个数据结构的大小，即最多只相差一个

代码

#include <queue>
class Solution {
private:#define SCD static_cast<double>priority_queue<int> min_q;priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> max_q;public:void Insert(int num) {//优先插入到对应的大堆min_q.push(num);max_q.push(min_q.top());min_q.pop();if(min_q.size() < max_q.size()){min_q.push(max_q.top());max_q.pop();}        }double GetMedian() { //因为是优先插入大堆的, 所以：min_q >= max_qreturn min_q.size() > max_q.size() ? SCD(min_q.top()) : SCD(min_q.top() + max_q.top()) / 2;}};

复杂度

• 时间复杂度：Insert函数O($logn$)，维护堆的复杂度，GetMedian函数O(1)，直接访问
• 空间复杂度：O(n)，两个堆的空间，虽是两个，但是一个堆最多$n/2$