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矩阵理论–矩阵分解

矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤，以及相关说明。

1、QR分解

（1）非奇异方阵

方阵（非奇异）：将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角，或者酉矩阵右乘正线下三角。

1. 分解步骤：
   1. 列分块得n个列向量构成的向量组；
   2. 将n个列向量施密特正交单位化；
   3. 用标准正交基表出该向量组；
   4. 写成矩阵相乘的形式，即得三角分解。
2. 施密特正交化-单位化：
   1. B1 = A1/|A1|；
   2. B2 = [A2-(A2,B1)B1]/|A2-(A2,B1)|;
   3. B3 = [A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1]/|A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1|;
3. 反过来表出：记k11=|A1|,k22 = |A2-(A2,B1)|,k12=(B1,A2)
   1. A1 = k11B1;
   2. A2 = k12B1+k22B2;
   3. A3 = k13B1+k23B2+k33B3;
   4. A = [A1,A2,A3] = [B1,B2,B3][k11,k12,k13; 0,k22,k23;0,0,k33]

（2）满秩的高矩阵、宽矩阵

1. 列满秩矩阵，列分块，添加列向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵左乘（正线上三角；0）
2. 行满秩矩阵，行分块，添加行向量，补成一个方阵（非奇异），再按方阵的方式分解，将得到一个方形的酉矩阵右乘（正线下三角，0）

（3）其它矩阵

奇异矩阵，非满秩的高矩阵、宽矩阵，可以分解为$U\left|\begin{array}{cc}L& 0\\ 0& 0\end{array}\right|V$，U、V是两个方形酉矩阵（不一定同阶）。

分解步骤

2、谱分解

谱是指矩阵的所有特征根构成的集合，表示为 𝜆(A)={𝜆1,𝜆2,……,𝜆r}。

首先需要指出，只有单纯矩阵才有谱分解。

（1）单纯矩阵：每个特征根的基础解系的维数等于特征根的重数。

单纯矩阵，等价于可对角化矩阵。

1. 分解步骤：P仅是一个非奇异阵。
   1. 解特征方程式，求特征根；
   2. 相似对角化：D = diag() = P^-1AP;A = PDP^-1；
   3. P列分块，P^-1行分块，利用分块矩阵的乘法即得A的谱分解
2. 单纯矩阵谱分解就是将矩阵分解成一系列的秩一矩阵加权和。
3. 相似对角化：
   1. Ap = p𝜆，p是某个特征根的特征向量
   2. 由于是单纯矩阵，该特征根有几重，这样的p就有几个，这几个p要求线性无关；
   3. 一共有n个p，从而构成一个方阵P，且线性无关，那么就非奇异，有逆；
   4. D = P^-1AP。
4. 秩一矩阵：行向量乘以列向量。
5. 幂等矩阵：投影矩阵，AA=A；由于P^-1P=E，则P的行向量乘以P^-1的列向量，将得到一个幂等矩阵。
6. 幂等矩阵的秩可以是小于n的任何一个数，0矩阵也是一种幂等矩阵；特征值非零即1，可对角化。
7. 秩一矩阵要么是幂等矩阵，要么是幂等矩阵乘以一个缩放因子，即AA=kA。

（2）正规矩阵：满足A^HA=AA^H。正规矩阵一定是单纯矩阵。

1. 分解步骤：此处的P是一个酉矩阵。

   1. 相似对角化；
   2. P列分块，P^-1行分块，分块矩阵乘法。

2. 正规矩阵谱分解成了一系列的正交投影的加权和。

3. 正交投影：幂等矩阵，并且是Hermite阵。

4. 如果A为上三角矩阵，则A是正规矩阵的充要条件是A为对角矩阵；

5. 如果A为块上三角矩阵，则A是正规矩阵的充要条件是A为块对角矩阵，且对角块为正规矩阵。

6. tr(AA^H)=tr(A^HA)=A的矩阵二范数；

3、最大秩分解

1. 最大秩分解：任意矩阵A，A=BD，B是一个列满秩矩阵，D是一个行满秩矩阵，三个矩阵的秩相等。
2. 分解方法：
   1. A化为行简化阶梯形A_w；
   2. A_w的非0列对应于A中的列构成B，A_w的非0行对应于A_w的行构成D
3. 列满秩矩阵：A是mxn的矩阵，若m>=n，则rank(A)<=n，nullity(A)<=n
   1. 秩零度定理：rank(A) + nullity(A) = n
   2. nullity(A)等于Ax=0的解空间维数。
   3. 如果rank(A)=n，那么nullity(A)=0，即Ax=0的解空间为零空间。
   4. 列满秩矩阵构成的齐次线性方程组只有零解。

4、奇异值分解

三角分解：$A=U\left|\begin{array}{cc}L& 0\\ 0& 0\end{array}\right|V$

其中L是一个r阶正线下三角矩阵。

为了进一步简化，发展出奇异值分解：$A=U\left|\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right|V$。

其中D是一个r阶正线对角矩阵。

1. 分解步骤：
   1. 求A^HA的特征值，从而求出正奇异值${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$。
   2. 由于是正规矩阵，因此可以将每个特征根对应的特征子空间的基抽出来构成一个n阶酉矩阵$V=\left|\begin{array}{c}V1\\ V2\end{array}\right|$。
   3. $A^{H}A=V^H\left|\begin{array}{cc}{D}^{H}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right|V$
   4. D H D = d i a g { λ 1 , λ 2 , . . . , λ r } D^HD=diag\{{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r}\} DHD=diag{λ1​,λ2​,...,λr​}；D=diag{𝛿1,𝛿2,…,𝛿r}，|𝛿i| = 𝛔i > 0; D的取法不唯一，𝛿i是一个复数，模长为𝛔i，相位任意。
   5. U = (U1, U2)；U1 = AV1^HD^-1;U2是U1的正交补，U2^HU1=0。U1^Hx=0，求出基础解系，U1和基础解系一起作施密特正交化，即得U。
   6. U^HAV^H = $\left|\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right|$;
   7. A = $U\left|\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right|V$
2. (A^HA)^H = A^HA，因此A^HA是n阶正规矩阵，正规矩阵可以谱分解成一系列正交投影的加权和，正规矩阵是半正定矩阵。
3. 正交补的求法：W2是W1的正交补。
   1. 根据秩零度定理：rank(A)+N(A)=n；
   2. A的极大无关列向量组可张成rank(A)维的空间W1；
   3. 令Ax=0，求出基础解系，基础解系可张成解空间W2；
   4. W1⨁W2=V(Cⁿ)