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前言
二叉树是一种特殊的树，它最大的度为2，每个节点至多只有两个子树。它是一种基础的数据结构，后面很多重要的数据结构都是依靠它来进行实现的。了解并且掌握它是很重要的。
目录
1.二叉树的介绍
1.1概念
1.2现实中的二叉树
1.3特殊的二叉树
1.4二叉树的性
1.5二叉树的存储结构
2.二叉树链式结构的实现
2.1创建一颗伪二叉树
2.2二叉树的遍历
2.2.1前序，中序和后序遍历
2.2.2层序遍历
2.3二叉树的节点个数及高度等
2.4二叉树的创建及销毁
2.5全部代码
1.二叉树的介绍
1.1概念
一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：
1.或者为空
2.由根节点外加两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成
1.2现实中的二叉树
1.3特殊的二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且节点的总数是二的K次方-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树 ： 完全二叉树是一种效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个节点的二叉树，当且仅当每个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1到N的节点一一对应时，称为完全二叉树。
1.4二叉树的性
1.若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层最多有2的i-1次方个节点。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树最大的节点数为2的h次方减1。
3.对于任意一颗二叉树，如果度为零其叶子结点的个数为n0，度为2的分支节点个数为n2，则有n0 = n2 + 1；
4.若规定根节点的层数为1，其n个节点的满二叉树的深度，h = log2（n+1）.(log2(n + 1)是以2为底，n+1为对数)；
5.对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下，从左至右的数组顺序对所有的节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：
1.若i大于0，i位置双亲节点的序号：（i - 1）/2; i = 0,i为根节点编号，无双亲节点
2.若2i+1<n,左孩子的序号：2i+1；2i+1>=n，则无左孩子。
3.若2i+2<n,右孩子序号：2i+2,2i+2>=n,则无右孩子。
1.5二叉树的存储结构
二叉树一般有两种结构的存储方式，一种是顺序结构，一种是链式结构。
1.顺序存储
顺序存储使用的数组，一般数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，而现实中只有堆 才使用数组来存储。二叉树的顺序存储在物理上是数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2.链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链表来指示元素之间的逻辑关系。通常的方法是每个节点由左，右指针域和数据域组成。左，右指针分别用来给出该节点左孩子和右孩子所在节点的地址。链式存储结构又分为二叉链和三叉链。现在我们使用的是二叉链。
2.二叉树链式结构的实现
2.1创建一颗伪二叉树
这里需要快速创建一颗二叉树，为了降低理解的难度，先创建一颗伪二叉树来进行学习，便于理解。
//BTree.h
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BTreeNode
{BTDataType _data;struct BTreeNode* _left;struct BTreeNode* _right;
}BTreeNode;
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node, BTDataType c);//申请一棵树的节点BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root);//创建一棵树//BTree.c
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node,BTDataType c)
{BTreeNode*cur = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));cur->_data = c;cur->_left = cur->_right = NULL;
}
BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root)//创建一棵树
{root = BuyBTreeNode(root, 'A');BTreeNode* B = BuyBTreeNode(root, 'B');BTreeNode* C = BuyBTreeNode(root, 'C');BTreeNode* D = BuyBTreeNode(root, 'D');BTreeNode* E = BuyBTreeNode(root, 'E');BTreeNode* F = BuyBTreeNode(root, 'F');root->_left = B;root->_right = C;B->_left = D;C->_left = E;C->_right = F;return root;
}2.2二叉树的遍历
2.2.1前序，中序和后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树的遍历就是按照某种特定的规则，依次对二叉树的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问节点的操作依赖于具体的问题，遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树进行其他运算的基础。
按照规则二叉树的遍历有：前序，中序和后序的递归结构遍历：
1.前序遍历(Preorder Traversal ），亦称为先序遍历，访问根节点的操作发生在访问左右子树之前。
2.中序遍历（Inorder Traversal)--访问根节点的操作发生在访问左右子树之间。
3.后序遍历（Post Traversal）--访问根节点的操作发生在左右子树之后。
由于被访问的节点必是某树的根，所以N（Node） ，L（Left subtree）和R（Right subtree）又可以解释为，根节点，根的左子树和根的右子树。NLR,LNR,LRN分别称为先根遍历，中根遍历和后根遍历。
前序遍历的代码：
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%c ",root->_data);PreOrder(root->_left);//左子树PreOrder(root->_right);//右子树
}前序遍历的递归图解：
中序遍历和后序遍历的代码：
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PreOrder(root->_left);//左子树printf("%c ", root->_data);//根PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PreOrder(root->_left);//左子树PreOrder(root->_right);//右子树printf("%c ", root->_data);//根}中序和后序遍历的展开图解和前序遍历的类似，有兴趣的友友可以自己画画看。
2.2.2层序遍历
二叉树的层序遍历是通过借助队列来实现的，将一颗树的根入队，出队时，如果根的左，右节点不为空就将根的左右节点依次入队，当队列为空时结束循环，这样就完成了二叉树的层序遍历。
void LevelOrder(BTreeNode* root)//层序遍历
{//创建队列Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时取节点判断左右子树是否为空{BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", cur->_data);if (cur->_left)//左子树存在{QueuePush(&q, cur->_left);//将当前节点的左子树入队}if (cur->_right)//右子树存在{QueuePush(&q, cur->_right);//将当前节点的右子树入队}}
}2.3二叉树的节点个数及高度等
递归求二叉树的高度是在当前节点求出左，右子树的高度，再将左，右子树中高度大的那个加一就是当前树的高度。
int BinarTreelen(BTreeNode* root)//求树的高度
{if (root == NULL)return 0;int leftsize = BinarTreelen(root->_left);int rightsize = BinarTreelen(root->_right);return leftsize > rightsize ? leftsize + 1 : rightsize + 1;//高度等于下一层左右节点高的那个加1
}二叉树叶子结点的个数，通过递归求解，首先叶子节点肯定满足左右子树都为空，所以如果左右子树都为空的话，就直接返回1，说明当前节点就是叶子节点，否则继续递归去找叶子节点。
int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root)
{if (root == NULL)//节点为空直接返回return 0;if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)//左右节点都为空return 1;//说明当前节点为叶子节点return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);//递归去求左右子树
}求二叉树的节点个数，如果当前节点不为空，就+1，然后递归求左，右子树中的节点数。如果当前节点为NULL则返回0.
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root)
{if (root == NULL)//当前节点为NULLreturn 0;return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);//前序遍历的方式求树的节点个数
}二叉树查找值为x的节点，通过前序遍历二叉树，如果二叉树当前节点的值等于x就返回当前节点。
BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)//如果节点为NULLreturn NULL;//返回NULLif (root->_data == x)return root;//找到值为x的节点，返回BTreeNode*cur = BinaryTreeFind(root->_left, x);if (cur)//找到了就返回节点的地址return cur;cur = BinaryTreeFind(root->_right, x);if (cur)//找到了就返回节点的地址return cur;return NULL;//如果这棵树没有找到就返回NULL
}求二叉树的第K层的节点个数，采用分治的思想：一颗树第K层的节点等于左子树K-1层的节点+右子树K-1层的节点。 结束条件是，如果当K等于1时，返回1，当当前节点为NULL时返回0。
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k)
{if (root == NULL)return 0;if (_k == 1 && root)//如果K等于1直接返回return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, _k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, _k - 1);//递归到左，右子树K-1层中去找节点数
}判断一颗二叉树是不是完全二叉树，借助 队列，采用层序遍历的方式，但是这里不判断当前树的左右子树是否为空，取队头的数据时，直接将该节点的左，右子树入队。当取到的队头的数据为空时，结束循环。如果是完全二叉树，那么剩余在队列中的所有的NULL应该是连续的。再将队列中所有的元素都出队，如果全部为空就满足完全二叉树，如果不是就不满足完全二叉树。
bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root)//判断一棵树是不是完全二叉树
{if (root == NULL)return true;//创建队列Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时判断取出来的节点是否为空{BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (cur == NULL)break;//当前节点为空直接结束循环QueuePush(&q, cur->_left);QueuePush(&q, cur->_right);}while (!QueueEmpty(&q)){//判断队列中剩下的元素是否有不为空的BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (cur)return false;}//如果走到这里还没有返回说明是完全二叉树return true;
}2.4二叉树的创建及销毁
通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树。
思路：通过递归去构建二叉树，因为给出的是前序遍历的数组，而数组中的#表示NULL，因此需要参数来记录数组的位置，也需要将字符数组传递给构建函数，如果遇到#就返回NULL，如果不是就申请空间初始化data域，并且将申请的空间进行返回，然后去递归构建左右子树。
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>typedef struct BTreeNode
{char _data;struct BTNode* _left;struct BTNode* _right;}BTreeNode;void InOrder(BTreeNode* root){if (root == NULL)return;//左子树InOrder(root->_left);//根printf("%c ", root->_data);//右子树InOrder(root->_right);
}BTreeNode* BinaryTreeCreate(char* a, int* pi)
{if (a[*pi] == '#'){++(*pi);return NULL;}BTreeNode* node = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));//申请节点node->_data = a[*pi];(*pi)++;//递归构建左右子树node->_left = BinaryTreeCreate(a, pi);node->_right = BinaryTreeCreate(a, pi);return node;
}
int main()
{char s[50] = { 0 };scanf("%s", s);int i = 0;//使用前序遍历构建树BTreeNode* root = BinaryTreeCreate(s, &i);//使用中序遍历打印树的节点的值InOrder(root);return 0;
}二叉树的销毁，如果采用前序遍历的方式进行销毁，就需要保存当前节点，所以建议采用后序遍历的方式进行销毁。
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root)//这里为了保持接口的一致性采用一级指针
{if (root == NULL)return;BinaryTreeDestory(root->_left);BinaryTreeDestory(root->_right);free(root);
}
2.5全部代码
//BTree.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BTreeNode
{BTDataType _data;struct BTreeNode* _left;struct BTreeNode* _right;
}BTreeNode;
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node, BTDataType c);//申请一棵树的节点BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root);//创建一棵树// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root);// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k);int BinarTreelen(BTreeNode* root);//求树的高度
// 二叉树查找值为x的节点
BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x);void LevelOrder(BTreeNode* root);//层序遍历// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root);
bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root);//判断一棵树是不是完全二叉树
//BTree.c
#include"BTree.h"
#include"Queue.h"
BTreeNode* BuyBTreeNode(BTreeNode* node,BTDataType c)
{BTreeNode*cur = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));cur->_data = c;cur->_left = cur->_right = NULL;return cur;
}
BTreeNode* CreatBinaryTree(BTreeNode* root)//创建一棵树
{root = BuyBTreeNode(root, 'A');BTreeNode* B = BuyBTreeNode(root, 'B');BTreeNode* C = BuyBTreeNode(root, 'C');BTreeNode* D = BuyBTreeNode(root, 'D');BTreeNode* E = BuyBTreeNode(root, 'E');BTreeNode* F = BuyBTreeNode(root, 'F');root->_left = B;root->_right = C;B->_left = D;C->_left = E;C->_right = F;return root;
}
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTreeNode* root){if (root == NULL){ return;}printf("%c ",root->_data);PreOrder(root->_left);//左子树PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PreOrder(root->_left);//左子树printf("%c ", root->_data);//根PreOrder(root->_right);//右子树
}
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PreOrder(root->_left);//左子树PreOrder(root->_right);//右子树printf("%c ", root->_data);//根}// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTreeNode* root)
{if (root == NULL)//当前节点为NULLreturn 0;return 1 + BinaryTreeSize(root->_left) + BinaryTreeSize(root->_right);//前序遍历的方式求树的节点个数
}
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTreeNode* root)
{if (root == NULL)//节点为空直接返回return 0;if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)//左右节点都为空return 1;//说明当前节点为叶子节点return BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);//递归去求左右子树
}
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTreeNode* root, int _k)
{if (root == NULL)return 0;if (_k == 1 && root)//如果K等于1直接返回return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, _k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->_right, _k - 1);//递归到左，右子树K-1层中去找节点数
}
int BinarTreelen(BTreeNode* root)//求树的高度
{if (root == NULL)return 0;int leftsize = BinarTreelen(root->_left);int rightsize = BinarTreelen(root->_right);return leftsize > rightsize ? leftsize + 1 : rightsize + 1;//高度等于下一层左右节点高的那个加1
}
// 二叉树查找值为x的节点BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)//如果节点为NULLreturn NULL;//返回NULLif (root->_data == x)return root;//找到值为x的节点，返回BTreeNode*cur = BinaryTreeFind(root->_left, x);if (cur)//找到了就返回节点的地址return cur;cur = BinaryTreeFind(root->_right, x);if (cur)//找到了就返回节点的地址return cur;return NULL;//如果这棵树没有找到就返回NULL
}void LevelOrder(BTreeNode* root)//层序遍历
{//创建队列Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时取节点判断左右子树是否为空{BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", cur->_data);if (cur->_left)//左子树存在{QueuePush(&q, cur->_left);}if (cur->_right)//右子树存在{QueuePush(&q, cur->_right);}}
}// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTreeNode* root)//这里为了保持接口的一致性采用一级指针
{if (root == NULL)return;BinaryTreeDestory(root->_left);BinaryTreeDestory(root->_right);free(root);
}
bool BinaryTreeComplete(BTreeNode* root)//判断一棵树是不是完全二叉树
{if (root == NULL)return true;//创建队列Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q))//队列不为空，出队头的元素，同时判断取出来的节点是否为空{BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (cur == NULL)break;//当前节点为空直接结束循环QueuePush(&q, cur->_left);QueuePush(&q, cur->_right);}while (!QueueEmpty(&q)){//判断队列中剩下的元素是否有不为空的BTreeNode* cur = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (cur)return false;}//如果走到这里还没有返回说明是完全二叉树return true;
}#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>typedef struct BTreeNode
{char _data;struct BTNode* _left;struct BTNode* _right;}BTreeNode;void InOrder(BTreeNode* root){if (root == NULL)return;//左子树InOrder(root->_left);//根printf("%c ", root->_data);//右子树InOrder(root->_right);
}BTreeNode* BinaryTreeCreate(char* a, int* pi)
{if (a[*pi] == '#'){++(*pi);return NULL;}BTreeNode* node = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode));//申请节点node->_data = a[*pi];(*pi)++;//递归构建左右子树node->_left = BinaryTreeCreate(a, pi);node->_right = BinaryTreeCreate(a, pi);return node;
}
//Queue.h
#pragma once
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
typedef struct BTreeNode BTreeNode;
typedef BTreeNode* QDataType;//树节点的声明typedef struct QueueNode
{struct QueueNode* _next;QDataType _data;
}QueueNode;
typedef struct Queue//队列的结构
{QueueNode* _head;//头指针QueueNode* _tail;//尾指针
}Queue;void QueueInit(Queue* qu);//初始化栈void QueueDestory(Queue* qu);//摧毁栈void QueuePush(Queue* qu,QDataType data);//入队void QueuePop(Queue* qu);//出队QDataType QueueFront(Queue* qu);//返回队头元素
QDataType QueueBack(Queue* qu);//返回队尾元素size_t QueueSize(Queue* qu);//队列长度bool QueueEmpty(Queue* qu);//判断队列是否为空//Queue.c
#include"Queue.h"
void QueueInit(Queue* qu)//初始化栈
{qu->_head = qu->_tail = NULL;
}
void QueueDestory(Queue* qu)//摧毁栈
{//确保指针有效assert(qu);QueueNode* cur = qu->_head;while (cur){QueueNode* next = cur->_next;free(cur);}
}
void QueuePush(Queue* qu,QDataType data)//入队
{if (qu->_head == NULL){qu->_head = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));qu->_tail = qu->_head;qu->_head->_next = NULL;qu->_head->_data = data;}else{//尾部入数据QueueNode* cur = qu->_tail;QueueNode* newNode = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));cur->_next = newNode;newNode->_next = NULL;qu->_tail = newNode;newNode->_data = data;}
}
void QueuePop(Queue* qu)//出队
{//队头出数据QueueNode* head = qu->_head;qu->_head = head->_next;free(head);
}
QDataType QueueFront(Queue* qu)//返回队头元素
{return qu->_head->_data;
}
QDataType QueueBack(Queue* qu)//返回队尾元素
{return qu->_tail->_data;
}
size_t QueueSize(Queue* qu)//队列长度
{assert(qu);//确保指针存在QueueNode* cur = qu->_head;size_t size = 0;while (cur){++size;cur = cur->_next;}return size;
}
bool QueueEmpty(Queue* qu)//判断队列是否为空
{return !qu->_head;
}//Test.c
#include"BTree.h"
void TestBTreeNode()
{BTreeNode* root = NULL;root = CreatBinaryTree(root);/*PreOrder(root);printf("\n");InOrder(root);printf("\n");PostOrder(root);*///printf("%d\n", BinaryTreeSize(root));printf("%d\n", BinaryTreeLeafSize(root));printf("%d\n", BinarTreelen(root));//LevelOrder(root);printf("%d\n", BinaryTreeComplete(root));printf("%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3));BinaryTreeDestory(root);root = NULL;//根节点置空，防止野指针的问题
}
int main()
{TestBTreeNode();}