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1、树的相关概念

1、树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

• 每个结点有零个或多个子结点；
• 没有父结点的结点为根结点；
• 每一个非根结点只有一个父结点；
• 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

2、相关术语

1、结点的度

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

2、叶子结点

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

3、分支结点

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

4、结点的层次

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

5、结点的层序编号

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

6、树的度

树中所有结点的度的最大值

7、树的高度(深度)

树中结点的最大层次

8、森林

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

9、孩子结点

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

10、双亲结点(父结点)

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

11、兄弟结点

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

2、二叉树

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

1、相关二叉树

1、满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

2、完全二叉树

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

2、创建二叉查找树

1、API设计

• 结点类

  类名	Node<Key,Value>
  构造方法	Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象
  成员变量	1.public Node left:记录左子结点 2.public Node right:记录右子结点 3.public Key key:存储键 4.public Value value:存储值

• 二叉树

  类名	BinaryTree<Key,value>
  构造方法	BinaryTree()：创建BinaryTree对象
  成员变量	1.private Node root:记录根结点 2.private int N:记录树中元素的个数
  成员方法	1. public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2.private Node put(Node x, Key key, Value val)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树 3.public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 4.private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中，找出key对应的值 5.public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 6.private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 7.public int size():获取树中元素的个数

1、put方法实现思路

• 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

• 如果当前树不为空，则从根结点开始：

  • 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

  • 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

  • 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

/*** 给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树* @param x 树节点* @param key 键* @param val 值* @return Node*/
public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){//当树为空时，该节点为根节点if(null == x){size++;return new Node<>(key, val, null, null);}int compare = key.compareTo(x.key);//如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点if(0 < compare){x.right = put(x.right,key,val);}else if(0 > compare){//如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点x.left = put(x.left,key,val);}else {//如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值x.value = val;}return x;
}

2、get方法实现思路

从根节点开始：

• 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
• 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
• 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

/*** 从指定的树x中，找出key对应的值* @param x 节点* @param key 键* @return 节点*/
public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){if (null == x){return null;}int compare = key.compareTo(x.key);if(0 < compare){return getNode(x.right,key);}else if(0 > compare){return getNode(x.left, key);}else {return x.value;}
}

3、delete方法的实现思路

• 找到被删除结点；
• 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
• 删除右子树中的最小结点
• 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
• 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

/*** 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树* @param x* @param key* @return*/
public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){if (null == x){return null;}int compare = key.compareTo(x.key);if(0 < compare){x.right = delete(x.right,key);}else if(0 > compare){x.left = delete(x.left,key);}else {//个数-1size--;//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点if(x.right == null){return x.left;}if(x.left == null){return x.right;}//左右子结点都存在的情况下，找右子树最小的节点Node<Key, Value> minRight = x.right;while (null != minRight.left){minRight = minRight.left;}Node<Key, Value> node = x.right;while (node.left != null) {if (node.left.left == null) {node.left = null;} else {node = node.left;}}//让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树minRight.left = x.left;minRight.right = x.right;//让被删除结点的父节点指向最小结点minNodex = minRight;}return x;
}

4、完整代码

package com.xiaobear.BinaryTree;/*** @Author xiaobear* @date 2021年07月30日 13:50* @Description 二叉树*/
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {/*** 根节点*/private Node<Key,Value> root;/*** 节点数量*/private int size;public void put(Key key, Value val){root = put(root,key,val);}/*** 给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树* @param x 树节点* @param key 键* @param val 值* @return Node*/public Node<Key, Value> put(Node<Key,Value> x, Key key, Value val){//当树为空时，该节点为根节点if(null == x){size++;return new Node<>(key, val, null, null);}int compare = key.compareTo(x.key);//如果compare > 0 ,则 key > x.key;继续x的右子节点if(0 < compare){x.right = put(x.right,key,val);}else if(0 > compare){//如果compare < 0 ,则 key < x.key;继续x的左子节点x.left = put(x.left,key,val);}else {//如果compare = 0 ,则 key = x.key;替换x.value的值x.value = val;}return x;}/*** 根据key，从树中找出对应的值* @param key 键*/public Value getNode(Key key){return getNode(root,key);}/*** 从指定的树x中，找出key对应的值* @param x 节点* @param key 键* @return 节点*/public Value getNode(Node<Key,Value> x, Key key){if (null == x){return null;}int compare = key.compareTo(x.key);if(0 < compare){return getNode(x.right,key);}else if(0 > compare){return getNode(x.left, key);}else {return x.value;}}public void delete(Key key){root = delete(root, key);}/*** 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树* @param x* @param key* @return*/public Node<Key,Value> delete(Node<Key, Value> x, Key key){if (null == x){return null;}int compare = key.compareTo(x.key);if(0 < compare){x.right = delete(x.right,key);}else if(0 > compare){x.left = delete(x.left,key);}else {//个数-1size--;//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点if(x.right == null){return x.left;}if(x.left == null){return x.right;}//左右子结点都存在的情况下，找右子树最小的节点Node<Key, Value> minRight = x.right;while (null != minRight.left){minRight = minRight.left;}Node<Key, Value> node = x.right;while (node.left != null) {if (node.left.left == null) {node.left = null;} else {node = node.left;}}//让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树minRight.left = x.left;minRight.right = x.right;//让被删除结点的父节点指向最小结点minNodex = minRight;}return x;}public int size(){return size;}/*** 节点类* @param <Key>* @param <Value>*/private class Node<Key,Value>{public Key key;public Value value;public Node<Key,Value> left;public Node<Key, Value> right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node<Key, Value> right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}
}

测试代码

public class BinaryTreeTest {public static void main(String[] args) {BinaryTree<Integer, String> binaryTree = new BinaryTree<>();binaryTree.put(1,"yhx");binaryTree.put(2,"love");binaryTree.put(3,"lwh");System.out.println(binaryTree.size());binaryTree.delete(2);String node = binaryTree.getNode(2);System.out.println(node);System.out.println(binaryTree.size());}
}

3、查找二叉树中最大/最小的键

1、最小的键

方法	描述
public Key min()	找出树中最小的键
private Node min(Node x)	找出指定树x中，最小键所在的结点

/*** 查找树中最小的键* @return*/
public Key minKey(){return minKey(root).key;
}/*** 根据二叉树的特点，左子树 < 右子树 so最小的键肯定是位于左边* @param x* @return*/
public Node<Key,Value> minKey(Node<Key,Value> x){if (x.left != null){return minKey(x.left);}else {return x;}
}

2、最大的键

方法	描述
public Key max()	找出树中最大的键
public Node max(Node x)	找出指定树x中，最大键所在的结点

/*** 查询树中最大的键* @return*/public Key maxKey(){return maxKey(root).key;}/*** 根据二叉树的特点，右子树 > 左子树 so最大的键肯定是位于右边* @param x* @return*/public Node<Key,Value> maxKey(Node<Key,Value> x){if(x.right != null){return maxKey(x.right);}else {return x;}}

3、二叉树的遍历

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访
问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

• 前序遍历

  先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

• 中序遍历

  先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

• 后序遍历

  先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

1、前序遍历

前序遍历的API

方法	描述
public Queue preErgodic()	使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)	使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

/*** 前序遍历* @return*/
public Queue<Key> preErgodic(){Queue<Key> queue = new Queue<>();preErgodic(root,queue);return queue;
}/*** 前序遍历操作 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树* @param x 根节点* @param queue 队列*/
private void preErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){if (x == null) {return;}//把当前结点的key放入到队列中queue.enqueue(x.key);//访问左子树if(x.left != null){preErgodic(x.left,queue);}//访问右子树if(x.right != null){preErgodic(x.right,queue);}
}

2、中序遍历

中序遍历的API

方法	描述
public Queue midErgodic()	使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)	使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

/*** 中序遍历* @return*/public Queue<Key> midErgodic(){Queue<Key> queue = new Queue<>();midErgodic(root,queue);return queue;}/*** 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树* @param x* @param queue*/private void midErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){if (x == null) {return;}//访问左子树if(x.left != null){preErgodic(x.left,queue);}//把当前结点的key放入到队列中queue.enqueue(x.key);//访问右子树if(x.right != null){preErgodic(x.right,queue);}}

3、后序遍历

后序遍历的API

方法	描述
public Queue afterErgodic()	使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys)	使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

 /*** 后序遍历* @return*/public Queue<Key> afterErgodic(){Queue<Key> queue = new Queue<>();afterErgodic(root,queue);return queue;}/*** 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点* @param x* @param queue*/private void afterErgodic(Node<Key,Value> x, Queue<Key> queue){if (x == null) {return;}//访问左子树if(x.left != null){preErgodic(x.left,queue);}//访问右子树if(x.right != null){preErgodic(x.right,queue);}//把当前结点的key放入到队列中queue.enqueue(x.key);}

4、测试

public class BinaryTreeErgodicTest {public static void main(String[] args) {BinaryTree<String, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put("E", "5");bt.put("B", "2");bt.put("G", "7");bt.put("A", "1");bt.put("D", "4");bt.put("F", "6");bt.put("H", "8");bt.put("C", "3");//前序遍历Queue<String> preErgodic = bt.preErgodic();//中序遍历Queue<String> midErgodic = bt.midErgodic();//后序遍历Queue<String> afterErgodic = bt.afterErgodic();for (String key : preErgodic) {System.out.println(key+"=" +bt.getNode(key));}}
}

4、层次遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值

层次遍历的结果是：EBGADFHC

方法	描述
public Queue layerErgodic()：	使用层序遍历，获取整个树中的所有键实

实现步骤：

1. 创建队列，存储每一层的结点；
2. 使用循环从队列中弹出一个结点：
   • 获取当前结点的key
   • 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
   • 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

/*** 层次遍历* @return*/
public Queue<Key> layerErgodic(){//存储keyQueue<Key> keys = new Queue<>();//存储nodeQueue<Node<Key,Value>> nodes = new Queue<>();//入队头结点nodes.enqueue(root);while(!nodes.isEmpty()){//出队当前节点Node<Key,Value> dequeue = nodes.dequeue();//当前节点头入队keys.enqueue(dequeue.key);if(dequeue.left != null){nodes.enqueue(dequeue.left);}if(dequeue.right != null){nodes.enqueue(dequeue.right);}}return keys;
}

5、二叉树的最大深度

最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）

上面这颗树的最大深度为：E–>B–>D–>C，深度为4

方法	描述
public int maxDepth()	计算整棵树的最大深度
private int maxDepth(Node x)	计算指定树x的最大深度

实现步骤：

1. 如果根结点为空，则最大深度为0；
2. 计算左子树的最大深度；
3. 计算右子树的最大深度；
4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

    /*** 计算整棵树的最大深度* @return*/public int maxDepth(){return maxDepth(root);}/*** 计算指定节点的最大深度* @param x* @return*/private int maxDepth(Node<Key,Value> x){if (x == null) {return 0;}int maxRight = 0;int maxLeft = 0;int maxDepth;if(x.left != null){maxLeft = maxDepth(x.left);}if (x.right != null) {maxRight = maxDepth(x.right);}maxDepth = maxLeft > maxRight ? maxLeft + 1 : maxRight + 1;return maxDepth;}

6、折纸问题

请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up

分析

我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点：

1. 根结点为下折痕；
2. 每一个结点的左子结点为下折痕；
3. 每一个结点的右子结点为上折痕；

实现步骤：

• 构建节点类
• 构建深度为n的折痕树
• 使用中序遍历，打印树中所有节点的内容

构建深度为N的折痕树：

1. 第一次对折，只有一条折痕，创建根节点
2. 如果不是第一次对折，则使用队列保存根节点
3. 循环遍历队列
   • 从队列中拿出一个节点
   • 如果当前节点的左节点不为空，则把这个左节点加入队列中
   • 如果当前节点的右节点不为空，则把这个右节点加入队列中
   • 判断当前结点的左子结点和右子结点都为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。

public class PaperFolding {/*** 创建折痕树* @param size 深度*/public static Node createTree(int size){Node root = null;for (int i = 0; i < size; i++) {//第一次对折，只有一条折痕，创建根节点if (0 == i){root = new Node("down",null,null);}else {//如果不是第一次对折，则使用队列保存根节点Queue<Node> nodes = new Queue<>();nodes.enqueue(root);//循环遍历while(!nodes.isEmpty()){//从队列中拿出一个节点Node dequeue = nodes.dequeue();//如果当前节点的左节点不为空，则把这个左节点加入队列中if(dequeue.left != null){nodes.enqueue(dequeue.left);}//如果当前节点的右节点不为空，则把这个右节点加入队列中if(dequeue.right != null){nodes.enqueue(dequeue.right);}//判断当前结点的左子结点和右子结点都为空，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。if(dequeue.left == null && dequeue.right == null){dequeue.left = new Node("down",null,null);dequeue.right = new Node("up",null,null);}}}}return root;}/*** 采用中序遍历* @param root*/public static void printTree(Node root){if (root == null) {return;}printTree(root.left);System.out.print(root.item+" ");printTree(root.right);}/*** 节点类*/private static class Node{String item;Node left;Node right;public Node(String item, Node left, Node right) {this.item = item;this.left = left;this.right = right;}}public static void main(String[] args) {Node tree = createTree(2);printTree(tree);}
}

down down up