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拟合损失函数

下一篇文章有如何通过损失函数来进行梯度下降法。

一、线性拟合

1.1 介绍

使用最小二乘法进行线性拟合，即，

$$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$$
其中，${\theta }_0$和${\theta }_1$是参数，需要通过已经给出的数据进行拟合，这里不进行具体的计算.

损失函数为：
$$J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$
即线性拟合的目的即是达到 ${\text{min}}_{\theta }J({\theta }_0,{\theta }_1)$

因此我们可以采取梯度下降法进行拟合。

而，不同的${\theta }_0$和${\theta }_1$获取到不同的损失，我们可以先绘制损失函数的图像，进行参数的预估计。

即，使用matplotlib的三维图像绘制来确定，以及可以使用等高线来进行完成。

1.2 代码可视化

1.2.1 生成示例数据

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成示例数据
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = 2 * x + 3 + np.random.normal(0, 2, 100)  # y = 2x + 3 + 噪声
# 绘制散点图，根据散点图大致确定参数范围
plt.scatter(x, y)
plt.title("Data analysis")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

1.2.2 损失函数

def mse_loss(t0, t1, x, y):# 定义损失函数y_pred = t1 * x + t0return np.mean((y - y_pred) ** 2) / 2

1.2.3 绘制三维图像

t0_, t1_ = np.linspace(0, 6, 100), np.linspace(0, 4, 100)  # 定义参数的取值范围
t0, t1 = np.meshgrid(t0_, t1_)  # 生成矩阵网格，即形成三维图的x轴和y轴，其为秩一阵
loss = np.zeros_like(t0)
for i in range(t0.shape[0]):for j in range(t0.shape[1]):loss[i, j] = mse_loss(t0[i, j],t1[i, j], x, y)# 绘制三维损失曲面
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  # 创建三维坐标系
ax.plot_surface(t0, t1, loss, cmap='viridis', alpha=0.8)
ax.set_xlabel("Slope (t1)")
ax.set_ylabel("Intercept (t0)")
ax.set_zlabel("Loss (MSE)")
ax.set_title("3D Loss Surface")
plt.show()

1.2.4 绘制等高线

# 绘制等高线图
plt.figure(figsize=(8, 6))
contour = plt.contour(t0, t1, loss, levels=50, cmap='viridis')
plt.colorbar(contour)
plt.xlabel("Slope (t1)")
plt.ylabel("Intercept (t0)")
plt.title("Contour Plot of Loss Function")
plt.show()

1.2.5 损失函数关于斜率的函数

固定截距，绘制出损失函数关于斜率的图像,通过等高线得出估计的最佳截距。

t1 = np.linspace(0, 6, 200)  # 得出斜率的范围
loss = np.zeros_like(t1)
for i in range(loss.shape[0]):loss[i] = mse_loss(2.5, t1[i], x, y)  # 存储损失值
plt.plot(t1, loss)
plt.xlabel(r"Slope($\theta_{1}$)")
plt.ylabel("Loss")
plt.title("Loss-Slope")
plt.show()  

通过一系列图像发现，损失值会收敛到一个值

故，可以使用梯度下降法（下一文会介绍）来进行线性拟合求解方程

二、 多变量拟合

2.1 介绍

显然，一个结果会受到多种因素的影响，这时候，就需要引入多项式来进行拟合。需要一些线性代数的知识，小知识。
即，我们令：
$$\begin{array}{lc}y& =\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& \cdots & x_n& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_n\\ b\end{array}\right)\\ & =XW+b\\ & =w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n+b\end{array}$$
可以看出，使用向量表达，和线性拟合的表达式类似。即，这里使用二项式拟合：
$$\begin{array}{lc}{h}_{\theta }(x{)}^{(i)}& ={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1^{(i)}+{\theta }_2{x}_2^{(i)}\\ h_{\theta }(x)& ={\left(\begin{array}{ccc}1& x_1^{(1)}& x_2^{(1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& x_1^{(m)}& x_2^{(m)}\end{array}\right)}_{m\times 3}\cdot {\left(\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ {\theta }_2\end{array}\right)}_{3\times 1}\end{array}$$
则，我们的损失函数定义为：

$$J({\theta }_0,\cdots ,{\theta }_n)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

2.2 代码可视化

2.2.1 生成示例数据

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 这里迭代区间最好不要一样，不然 x1 = x2
x1 = np.linspace(0, 10, 100)
x2 = np.linspace(-10, 0, 100)  
y = 2 * x1 + 3 * x2 + 4 + np.random.normal(0, 4, 100)  # 生成噪声数据，即生成正态分布的随机数# 绘制散点图，三维散点图
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  
# 绘制三维散点图
ax.scatter(x1, x2, y, alpha=0.6)# 设置坐标轴标签
ax.set_xlabel('X1 Label')
ax.set_ylabel('X2 Label')
ax.set_zlabel('Y Data')# 设置标题
ax.set_title('3D Scatter Plot')
plt.show()

2.2.2 损失函数

使用点积来进行损失函数的编写：

其实，线性函数也可以用点积来编写，不过运算较为简单，就可以不考虑点积

def mse_loss(para, X, y):"""para: nx1 的列向量x: mxn 的数据矩阵y: nx1的列向量"""y_pre = np.dot(X, para)   # 使用点积定义拟合函数return np.mean((y_pre-y)**2) / 2

2.2.3 绘制等高线

这里等高线的绘制，先寻找一个大概截距，即固定一个值，而后再进行二维等高线的绘制：

# 对数据进行预处理
one_ = np.ones_like(x1)  # 生成一个全为1的列向量
X = np.array([one_, x1, x2]).T   # 合成为一个100行三列的数据矩阵x10, x20 = np.linspace(0, 6, 100), np.linspace(0, 6, 100)
x1_, x2_ = np.meshgrid(x10, x20)
loss = np.zeros_like(x1_)
for i in range(x1_.shape[0]):  # 批量计算损失函数for j in range(x1_.shape[1]):param = np.array([0, x1_[i][j], x2_[i][j]])  # 假设截距为0loss[i][j] = mse_loss(param, X, y)plt.figure(figsize=(8, 6))
contour = plt.contour(x1_, x2_, loss, levels=50, cmap='viridis')
plt.colorbar(contour)
plt.xlabel(r"$x_1$")
plt.ylabel(r"$x_2$")
plt.title(r"Contour Plot of Loss Function when $x_0$=4")
plt.show()

通过等高线的绘制，可以大致确定$x_1$和$x_2$的估计值，而后使用梯度下降法进行进一步的求解。

三、 多项式拟合

3.1 介绍

在一些拟合过程中其实单变量影响，但是通过散点图很容易发现，其并不是线性函数，因此并不能进行线性拟合，而是要进行多项式拟合，即使用x的多次方的加和形式进行拟合：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$$

同时，也可以使用$y={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2\sqrt{x}$来进行拟合。
具体的多项式拟合形式，需要结合其他数据，以及具体情况进行分析。

则，其损失函数为：
$${\text{min}}_{\theta }J(\theta )={\text{min}}_{\theta }\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

3.2 公式表示

拟合方式则是与多变量拟合的过程类似(令$\phi (x)$为x的多次方形式)

即
$$\begin{array}{l}{h}_{\theta }(x)={\left(\begin{array}{cccc}1& {\phi }_1(x^{(1)})& \cdots & {\phi }_n(x^{(1)})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\phi }_1(x^{(m)})& \cdots & {\phi }_n(x^{(m)})\end{array}\right)}_{m\times (n+1)}\cdot {\left(\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ ⋮\\ {\theta }_n\end{array}\right)}_{(n+1)\times 1}\end{array}$$
而后进行相似的运算即可绘制出图像。