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深度学习模型组件之优化器–基础优化器（GD、SGD、Mini-batch SGD）

在深度学习的训练过程中，优化器扮演着至关重要的角色。如何高效地寻找损失函数的最小值，直接影响模型的训练速度和最终性能。今天我们就来详细探讨三种基础优化方法：梯度下降（Gradient Descent, GD）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）以及小批量梯度下降（Mini-batch SGD）。

1. 梯度下降（Gradient Descent, GD）

1.1 基本原理

梯度下降是优化算法中最直观的方法，其核心思想是沿着当前参数梯度下降的方向，更新参数以减小损失函数。具体更新公式如下：

其中，

• θ为模型参数，
• η是学习率，
• ∇θJ(θ)表示损失函数关于参数的梯度。

1.2 优点与缺点

优点：

• 理论简单、易于理解。
• 在凸优化问题中能够保证收敛到全局最优解。

缺点：

• 每次更新都需要计算整个训练集的梯度，计算开销巨大，尤其在大规模数据集上效率低下。
• 对于非凸问题容易陷入局部最优，且对初始值比较敏感。

1.3 GD代码示例

下面是一个使用 Python 实现简单梯度下降算法的示例：

import numpy as np# 假设我们要最小化 f(x) = x^2
def f(x):return x ** 2def grad_f(x):return 2 * x# 初始化参数
x = 10.0
learning_rate = 0.1
num_iterations = 50for i in range(num_iterations):grad = grad_f(x)x = x - learning_rate * gradprint(f"Iteration {i+1}: x = {x}, f(x) = {f(x)}")

2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）

2.1 基本原理

随机梯度下降与梯度下降的主要区别在于：SGD 每次只使用一个样本（或一小部分样本）来估计梯度，从而大大减少了每次更新所需的计算量。更新公式类似，但梯度 ∇θJ(θ) 只针对一个样本或一个样本对进行计算，即：

这里：

• x(i) 和 y(i) 分别表示第 i 个样本及其对应的标签；
• ∇θJ(θ;x(i),y(i)) 为基于单个样本计算的梯度。

2.2 优缺点分析

优点：

• 单次更新速度快，计算量小，适合大数据量的训练；
• 更新参数更加频繁，有助于快速跳出局部最优解。

缺点：

• 由于每次更新只依赖单个样本，梯度的估计存在较大噪声，可能导致更新震荡；
• 收敛路径不够平滑，可能需要更多迭代才能达到稳定状态。

2.3 SGD代码示例

下面是一个使用 SGD 的简单实现示例：

import numpy as np# 假设我们有一个样本数据集 X 和对应标签 Y，用于线性回归
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
Y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])  # 真实关系为 y = 2x# 初始化参数
w = 0.0
learning_rate = 0.01
num_iterations = 100for i in range(num_iterations):# 随机选择一个样本idx = np.random.randint(0, len(X))x_i = X[idx]y_i = Y[idx]# 预测值与误差prediction = w * x_ierror = prediction - y_i# 梯度计算（以均方误差损失函数求导）grad = 2 * error * x_iw = w - learning_rate * gradif (i+1) % 10 == 0:print(f"Iteration {i+1}: w = {w}")

3. 小批量梯度下降（Mini-batch SGD）

3.1 基本原理

小批量梯度下降可以看作是 GD 与 SGD 的折中方案：在每次更新中，使用一小部分样本（称为 mini-batch）来估计梯度。这样既保留了梯度下降整体稳定的优势，也减少了计算量，并且在一定程度上降低了 SGD 的噪声。

更新公式仍然为：

其中，∇θJmini−batch(θ) 表示基于小批量样本计算出的梯度平均值。

3.2 优缺点分析

优点：

• 兼顾了计算效率和梯度估计的稳定性。
• 利用向量化运算可以大幅提高计算效率，适合 GPU 并行计算。

缺点：

• 小批量大小的选择对训练效果有较大影响；
• 若 mini-batch 太小，噪声可能依然较大；若太大，则可能失去 SGD 的随机性优势。

3.3 Mini-batch SGD代码示例

下面是一个使用 mini-batch SGD 实现线性回归的示例代码：

import numpy as np# 数据集
X = np.linspace(1, 5, 100)
Y = 2 * X + np.random.randn(100)  # 加入一定噪声# 初始化参数
w = 0.0
learning_rate = 0.001
num_iterations = 200
batch_size = 10for i in range(num_iterations):# 随机抽取 mini-batchindices = np.random.choice(len(X), batch_size, replace=False)X_batch = X[indices]Y_batch = Y[indices]# 计算预测值与误差predictions = w * X_batcherrors = predictions - Y_batch# 梯度计算（均方误差损失函数求导）grad = 2 * np.dot(errors, X_batch) / batch_sizew = w - learning_rate * gradif (i+1) % 20 == 0:mse = np.mean(errors ** 2)print(f"Iteration {i+1}: w = {w:.4f}, MSE = {mse:.4f}")

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4. 总结

本文介绍了三种基本优化方法：

• 梯度下降（GD）：使用整个训练集计算梯度，更新稳定，但计算量大，适合小数据集和理论研究。
• 随机梯度下降（SGD）：每次只用一个样本更新，速度快、更新频繁，但容易出现噪声和波动。
• 小批量梯度下降（Mini-batch SGD）：使用一小批样本计算平均梯度，兼顾了计算效率和更新稳定性，但需要合理选择批次大小。

下面是三者的对比表格：

方法	原理	优点	缺点
梯度下降（GD）	用整个训练集计算梯度	更新稳定，理论简单	计算量大，速度慢
随机梯度下降（SGD）	每次用一个样本计算梯度	更新快，适合大数据	噪声大，收敛不平滑
小批量梯度下降（Mini-batch SGD）	用一小批样本计算平均梯度	兼顾速度与稳定性，适合GPU加速	需精心调控批次大小