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5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

• 一棵树是结点的有限集合T：
  • 若T非空，则：
    • 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
    • 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
  • T 空时为空树，记作root(T)=NULL。

5.1.2 森林的定义

  一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。
  森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

5.1.3 树的术语

• 父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
• 度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
• 结点的层数
• 路径、路径长度、结点的深度、树的深度

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

5.2 二叉树

5.3 树

5.3.1 树的存储结构

1. 理论基础

2. 典型实例

3. Father链接结构

4. 儿子链表链接结构

【数据结构】树与二叉树（十八）：树的存储结构——Father链接结构、儿子链表链接结构

5. 左儿子右兄弟链接结构

【数据结构】树与二叉树（十九）：树的存储结构——左儿子右兄弟链接结构（树、森林与二叉树的转化）
  左儿子右兄弟链接结构通过使用每个节点的三个域（FirstChild、Data、NextBrother）来构建一棵树，同时使得树具有二叉树的性质。具体来说，每个节点包含以下信息：

1. FirstChild： 存放指向该节点的大儿子（最左边的子节点）的指针。这个指针使得我们可以迅速找到一个节点的第一个子节点。
2. Data： 存放节点的数据。
3. NextBrother： 存放指向该节点的大兄弟（同一层中右边的兄弟节点）的指针。这个指针使得我们可以在同一层中迅速找到节点的下一个兄弟节点。

  通过这样的结构，整棵树可以用左儿子右兄弟链接结构表示成一棵二叉树。这种表示方式有时候被用于一些特殊的树结构，例如二叉树、二叉树的森林等。这种结构的优点之一是它更紧凑地表示树，而不需要额外的指针来表示兄弟关系。

   A/|\B C D/ \E   F

A
|
B -- C -- D|E -- F

即：

      A/ B   \C/ \ E   D\F

5.3.2 获取结点的算法

【数据结构】树与二叉树（二十）：树获取大儿子、大兄弟结点的算法（GFC、GNB）

5.3.3 树和森林的遍历

【数据结构】树与二叉树（七）：二叉树的遍历（先序、中序、后序及其C语言实现）

1. 先根遍历（递归、非递归）

【数据结构】树与二叉树（廿一）：树和森林的遍历——先根遍历(递归算法PreOrder、非递归算法NPO)

2. 后根遍历（递归）

a.理论

b. ADL算法PostOrder

1. 基本条件检查：

   • IF t=NULL THEN RETURN.：如果树的根节点 t 为空，直接返回，递归的出口条件。

2. 递归调用子树的后根遍历：

   • PostOrder(t.child).：递归调用后根遍历算法，对当前节点 t 的第一个孩子进行遍历。

3. 迭代调用右兄弟节点的后根遍历：

   • WHILE child≠∧ DO：使用 WHILE 循环，判断当前节点的第一个孩子是否存在（child≠∧）。
     • PostOrder(child).：递归调用先根遍历算法，对当前节点 child 进行遍历。
     • GNB(child.child).：调用算法 GNB 获取当前节点 child 的下一个兄弟节点，然后继续遍历。

4. 打印根节点数据：

   • PRINT(Data(t)).：打印当前树节点 t 的数据。
       通过递归地调用后根遍历算法，依次访问树的根节点、根节点的孩子节点、孩子节点的兄弟节点……以此类推，完成对整个树的后根遍历。

c. 代码实现

void PostOrder(TreeNode* t) {if (t == NULL) {return;}// 递归调用子树的后根遍历TreeNode* child = getFirstChild(t);while (child != NULL) {PostOrder(child);// 迭代调用右兄弟节点的后根遍历child = getNextBrother(child);}// 打印当前树节点的数据printf("%c ", t->data);
}

3. 后根遍历（非递归）

a. ADL算法NPO

b. NPO算法解析

暂时仅提供c语言代码，ADL语言及代码解析，有缘再见……

c. 代码实现

// 后根遍历的非递归算法
void NorecPostOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return;}TreeNode* stack1[100];TreeNode* stack2[100];int top1 = -1;int top2 = -1;TreeNode* p = root;stack1[++top1] = p;while (top1 != -1) {p = stack1[top1--];stack2[++top2] = p;TreeNode* child = getFirstChild(p);while (child != NULL) {stack1[++top1] = child;child = getNextBrother(child);}}while (top2 != -1) {printf("%c ", stack2[top2--]->data);}
}

• 参数：

  • root: 树的根节点。

• 局部变量：

  • stack[100]: 用于模拟栈的数组，存储待访问的节点。

3. 森林的遍历

4. 代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义树节点
typedef struct TreeNode {char data;struct TreeNode* firstChild;struct TreeNode* nextBrother;
} TreeNode;// 创建树节点
TreeNode* createNode(char data) {TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));if (newNode != NULL) {newNode->data = data;newNode->firstChild = NULL;newNode->nextBrother = NULL;}return newNode;
}// 释放树节点及其子树
void freeTree(TreeNode* root) {if (root != NULL) {freeTree(root->firstChild);freeTree(root->nextBrother);free(root);}
}// 算法GFC：获取大儿子结点
TreeNode* getFirstChild(TreeNode* p) {if (p != NULL && p->firstChild != NULL) {return p->firstChild;}return NULL;
}// 算法GNB：获取下一个兄弟结点
TreeNode* getNextBrother(TreeNode* p) {if (p != NULL && p->nextBrother != NULL) {return p->nextBrother;}return NULL;
}/* 使用已知的getFirstChild和getNextBrother函数实现后根遍历以t为根指针的树。*/
void PostOrder(TreeNode* t) {if (t == NULL) {return;}// 递归调用子树的后根遍历TreeNode* child = getFirstChild(t);while (child != NULL) {PostOrder(child);// 迭代调用右兄弟节点的后根遍历child = getNextBrother(child);}// 打印当前树节点的数据printf("%c ", t->data);
}// 后根遍历的非递归算法
void NorecPostOrder(TreeNode* root) {if (root == NULL) {return;}TreeNode* stack1[100];TreeNode* stack2[100];int top1 = -1;int top2 = -1;TreeNode* p = root;stack1[++top1] = p;while (top1 != -1) {p = stack1[top1--];stack2[++top2] = p;TreeNode* child = getFirstChild(p);while (child != NULL) {stack1[++top1] = child;child = getNextBrother(child);}}while (top2 != -1) {printf("%c ", stack2[top2--]->data);}
}int main() {// 构建左儿子右兄弟链接结构的树TreeNode* A = createNode('A');TreeNode* B = createNode('B');TreeNode* C = createNode('C');TreeNode* D = createNode('D');TreeNode* E = createNode('E');TreeNode* F = createNode('F');A->firstChild = B;B->nextBrother = C;C->nextBrother = D;C->firstChild = E;E->nextBrother = F;// 使用递归后根遍历算法printf("Recursive Postorder: \n");PostOrder(A);printf("\n");// 使用非递归后根遍历算法printf("Non-recursive PostOrder: \n");NorecPostOrder(A);printf("\n");// 释放树节点freeTree(A);return 0;
}