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一、统计资料的基础概念与收集

（一）统计资料的定义与构成要素

1. 定义：统计资料是指可用以推导出某项结论的一些事实或数字。

2. 构成要素：

• 元素：研究对象的基本组成单位。

• 变量：关于元素的属性或特征，分为定量变量（结果可用数字表示）和定性变量（结果不可用数字表示）。

• 统计数据：统计变量的取值。

（二）变量的测量尺度

1. 定类尺度：按现象性质差异区分，如性别、种族，各类别平等无顺序。

2. 定序尺度：按现象顺序差异区分，如教育程度（小学、中学、大学），有高低之分但差异不可计量。

3. 定距尺度：按现象绝对数量差异区分，如温度（℃），可加减运算但无绝对零点。

4. 定比尺度：有绝对零点，如身高、体重，可进行加减乘除运算。

（三）统计资料的收集方法

1. 直接收集：

• 实验式收集：如科学管理理论中的工作定额实验。

• 非实验式收集：通过调查、观测等方式，如问卷调查。

1. 间接收集：引用二手数据，如国家统计局公报、年鉴、专业数据库。

（四）统计资料的误差来源

1. 抽样误差：由样本推断总体时产生的误差，影响因素包括样本量、抽样方法、抽样组织形式。

2. 非抽样误差：

• 测量误差：如调查中受访者回答错误。

• 数据处理误差：录入错误、计算错误等。

• 其他：如缺失数据、虚假数据（如 2016 年美国大选预测中特朗普支持者沉默或说假话）。

（五）典型案例：2016 年美国大选预测失败

• 原因分析：样本点分布不均匀、缺失数据、失真数据（部分支持者沉默或说谎）、未考虑关键变量（如 “黑客门” 影响）。

二、统计资料的整理

（一）整理目的与统计表类型

1. 目的：将原始资料加工整理，便于发现数据规律性，为进一步分析做准备。

2. 统计表类型：

• 序列表：按时间或地域排列，如历年国家公务员考试报名情况。

• 分类表：

  • 定性分布表：按性质分类，如 2023 年分区域就业人员工资表。

  • 频数分布表：按数值分类，记录各组频数，如学生成绩分布。

（二）频数分布表的制作

1. 步骤：

• 确定组数 k（100 个数据以内分 5-10 组，超过 100 分 10-15 组）。

• 计算组距 h=(Xmax-Xmin)/k。

• 确定各组上下限（第一组下界 = Xmin-h/2）。

• 归并数据，统计频数。

1. 案例：200 个学生高等数学成绩（组距 10）：

40-49：1人，50-59：14人，60-69：55人，70-79：58人，80-89：52人，90-99：17人，100-109：3人

（三）统计图的类型与应用

1. 线图：展示时间序列数据趋势，如国内生产总值与进出口总额变化。

2. 条形图：比较不同类别数据，如 2011 年房企销售金额 TOP10。

3. 圆饼图：展示部分与整体关系，如武汉市 2003 年工业企业单位数占比。

4. 散点图：分析双变量关系，如国内生产总值与进出口总额的相关性。

5. 面积图：展示数据随时间的累积变化，如音乐类型流行趋势。

6. 两轴折线图：同时展示两组数据，如 2013 年全国城市平均工资与排名。

（四）双变量二元分布表

1. 定义：记录两变量分类组合的频数，如飞行错误状态与原因的二元分布：

\| 错误原因 | R(规范) | M(仪表) | O(其它) | 合计 |\|----------|--------|--------|--------|------|\| T(起飞)  | 4      | 8      | 8      | 20   |\| C(巡航)  | 2      | 3      | 4      | 9    |\| L(着陆)  | 7      | 3      | 6      | 16   |\| 合计     | 13     | 18     | 14     | 45   |

1. 边际分布：表中最右列和最下行分别为两变量的单变量分布（如飞行状态的边际分布：T=20, C=9, L=16）。

2. 关联分析：通过二元分布分析两变量关系，如起飞时易发生规范和仪表错误，着陆时规范错误较少。

三、统计资料的综合分析

（一）表示集中位置的特征数

1. 算术平均数（x̄）：

• 公式：未分组数据 x̄=ΣXi/n，分组数据 x̄=Σ(fiXi)/Σfi。

• 性质：离差之和为零，离差平方和最小。

• 案例：125 名新生体重平均 = 6949/125=55.592kg。

1. 几何平均数（G）：

• 适用：环比数据（增长率、发展速度）。

• 公式：G=ⁿ√(r1×r2×…×rn)。

• 案例：天津工业总产值年均增长率：

2001-2005年环比发展速度：114.0,119.6,124.1,131.0,120.8G=⁵√(114×119.6×124.1×131×120.8)=121.8，年均增长率=21.8%

1. 调和平均数（H）：

• 适用：相对变化率（速度、价格）。

• 公式：H=n/(1/R1+1/R2+…+1/Rn)。

• 案例：往返速度 20km/h 和 30km/h，平均速度 H=2/(1/20+1/30)=24km/h。

1. 众数（Mode）：频数最大的值，可能不唯一，如成绩分布中 70-79 分频数 58 为众数。

2. 中位数（Me）：排序后中间位置的值，n 奇数时 Me=X (n+1)/2，n 偶数时 Me=(Xn/2+Xn/2+1)/2。

• 案例：12 个月薪数据排序后，Me=(2390+2420)/2=2405。

1. 百分位数（P）：

• 计算：i=np%，i 非整数时向上取整，i 整数时取第 i 和 i+1 项平均值。

• 案例：12 个报价数据第 80 百分位数：i=12×80%=9.6→第 10 项 = 11。

（二）表示变异程度的特征数

1. 极差（R）：R=Xmax-Xmin，如报价数据 R=15.9-3=12.9。

2. 四分位间距（IQR）：IQR=Q3-Q1，如月薪数据 Q1=2365, Q3=2500, IQR=135。

3. 平均差（MD）：MD=Σ|Xi-x̄|/n，分组数据 MD=Σ(fi|Xi-x̄|)/n。

• 案例：职工工资平均差 = 3700/180≈20.6 元。

1. 方差与标准差：

• 总体方差 σ²=Σ(Xi-μ)²/N，样本方差 s²=Σ(Xi-x̄)²/(n-1)。

• 总体标准差 σ=√σ²，样本标准差 s=√s²。

• 案例：14 个产品数据方差 = 0.002<0.005，机器无需关闭。

1. 变异系数（CV）：CV=s/x̄×100%，消除量纲影响。

• 案例：A 班成绩 x̄=80, s=10, CV=12.5%；B 班 x̄=40, s=8, CV=20%，A 班更整齐。

1. 标准分数（z）：z=(Xi-x̄)/s，表示数据相对位置。

• 案例：网购金额标准分数用于衡量个体偏离均值的程度。

（三）表示偏倚程度的特征数

1. 偏度系数（SK）：

• 公式：SK=Σ(Xi-x̄)³/[(n-1) s³]。

• 意义：SK=0 对称，SK>0 右偏，SK<0 左偏。

1. 峰度系数（K）：

• 公式：K=Σ(Xi-x̄)⁴/[(n-1) s⁴]-3。

• 意义：K=0 标准正态，K>0 尖峰，K<0 扁平。

（四）五数概括法与盒形图

1. 五数概括：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值。

• 案例：月薪数据五数概括：2210, 2365, 2405, 2500, 2825。

1. 盒形图绘制：

• 画方盒（Q1-Q3），中间垂线为中位数。

• 计算界限：Q1-1.5IQR 和 Q3+1.5IQR，以外为异常值。

• 须线连接界限内的最值，异常值用 “*” 标出。

四、做题技巧与注意事项

（一）集中趋势特征数选择

• 数据对称：算术平均数最佳。

• 环比数据：几何平均数。

• 极端值影响大：中位数。

• 相对变化率：调和平均数。

（二）变异程度分析步骤

1. 先算极差，快速了解数据范围。

2. 计算四分位间距，排除极端值影响。

3. 计算方差 / 标准差，衡量数据离散程度。

4. 比较变异系数，用于不同数据集的相对变异比较。

（三）双变量分析要点

1. 绘制散点图，初步判断相关性。

2. 整理二元分布表，分析边际分布与关联关系。

3. 结合实际背景，解释变量间的潜在联系。

（四）常见错误规避

• 误用算术平均数于环比数据（如直接平均增长率）。

• 忽略异常值对平均数的影响。

• 未检验数据分布假设（如使用正态分布统计量前未检查偏度峰度）。

五、公式速查表

统计量	公式
算术平均数	x̄=ΣXi/n（未分组），x̄=Σ(fiXi)/Σfi（分组）
几何平均数	G=ⁿ√(r1×r2×…×rn)
调和平均数	H=n/(1/R1+1/R2+…+1/Rn)
中位数	n 奇数：Me=X (n+1)/2，n 偶数：Me=(Xn/2+Xn/2+1)/2
方差	总体 σ²=Σ(Xi-μ)²/N，样本 s²=Σ(Xi-x̄)²/(n-1)
标准差	σ=√σ²，s=√s²
变异系数	CV=s/x̄×100%
标准分数	z=(Xi-x̄)/s
四分位间距	IQR=Q3-Q1
偏度系数	SK=Σ(Xi-x̄)³/[(n-1)s³]
峰度系数	K=Σ(Xi-x̄)⁴/[(n-1)s⁴]-3
kmj	OuO