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news 2025/7/31 2:08:29

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三坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式

- 定理
- 验证

定理

在坐标系中，由向量（a,b）和向量(c,d)组成平行四边形的面积= 矩阵 $\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ 的行列式，即：
$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} = ad-bc$

验证

h 在这里插入图片描述

S表示面积
$S_{\text{红4}} = cd \newline S_{\text{绿5}} = ab \newline S_{\text{橙6}} = ab \newline S_{\text{黄7}} = cd$
得出
$S_{\text{绿5}}=S_{\text{橙6}} \newline S_{\text{红4}} = S_{\text{黄7}} \newline S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}} = ad$

在这里插入图片描述
图中， $S_{\text{紫}} = S_{\text{紫1}} + S_{\text{紫2}} +S_{\text{紫3}} = bc$
现在看平行四边形的面积，如下：
$S_{\text{平行四边形}} = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}}$

减去 $S_{\text{紫3}}$ ，是因为 $S_{\text{紫3}}$ 加了两次

$\begin{aligned} S_{\text{平行四边形}} & = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} \newline & = S_{\text{蓝8}} + S_{\text{橙6}} + S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}} - S_{\text{紫2}}-S_{\text{紫3}} \newline & = (S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}}) - (S_{\text{紫1}} +S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}}) \newline & = ad-bc \end{aligned}$

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