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二．问题的分析和假设：

2-1对于问题一的分析

根据题目中的数据只是一个粗略预报人口总数的模型，没有对人口的年龄、性别、地域结构进行预报，故采用Malthus模型或Logistic模型

2-2对问题二的分析

我们通过使用数学知识和matlab对以上数据进行计算，进而求解，从而得到模型以及图像。

2-3对Logistic模型的假设

(1)设r(x)为x(t)的线性单调减函数，即r(x)＝r-sx(s>0)；

(2)自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为Xm，即当x=时，增长率r()=0。

由（1）、（2）可得：

建模： 使用Logistic模型 

上式是一个可分离变量性的微分方程，其解为：

以下对其进行拟合、求解以及绘图

求解的Matlab程序代码：  

编写M文件如下：

Malthus模型: 

首先对数据进行拟合：

>> year=1988:1:2001;

>>population=[11.1026,11.2074,11.4333,11.5823,11.7171,11.8517,11.9850 12.1121,12.2389,12.3626,12.4761,12.5786,12.6743,12.7627];

>> cftool

                              图一  拟合数据图

Matlab自动生成的拟合代码：

function [fitresult, gof] = createFit2(year, population)

%CREATEFIT2(YEAR,POPULATION)

%  Create a fit.

%

%  Data for 'untitled fit 1' fit:

%      X Input : year

%      Y Output: population

%  Output:

%      fitresult : a fit object representing the fit.

%      gof : structure with goodness-of fit info.

%

%  另请参阅 FIT, CFIT, SFIT.

%  由 MATLAB 于 06-Apr-2022 01:20:13 自动生成

%% Fit: 'untitled fit 1'.

[xData, yData] = prepareCurveData( year, population );

% Set up fittype and options.

ft = fittype( 'xm/(1+(xm/11.1026-1)*exp(-r*(t-1988)))', 'independent', 't', 'dependent', 'y' );

opts = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' );

opts.Display = 'Off';

opts.StartPoint = [0.2 500];

% Fit model to data.

[fitresult, gof] = fit( xData, yData, ft, opts );

% Plot fit with data.

figure( 'Name', 'untitled fit 1' );

h = plot( fitresult, xData, yData );

legend( h, 'population vs. year', 'untitled fit 1', 'Location', 'NorthEast' );

% Label axes

xlabel year

ylabel population

grid on

将以上代码保存当前文件夹，并在新的文件夹中调用这个函数得到参数的拟合值和预测的效果。

计算结果与结论：  

通过Matlab进行计算，得到如下答案：

>> year=1988:1:2001;

>>population=[11.1026,11.2074,11.4333,11.5823,11.7171,11.8517,11.9850 12.1121,12.2389,12.3626,12.4761,12.5786,12.6743,12.7627];

cftool

>>[fitresult, gof] = createFit1(year, population)

>>t = 2002:2004;

>>xm = 14.42;   

>>r =  0.06451;

>>predictions = xm./(1+(xm./11.1026-1).*exp(-r.*(t-1988)));

>>figure(2)

>>plot(year,population,'o',t,predictions,'.')  

>>disp(predictions)  

fitresult =

     General model:

     fitresult(t) = xm/(1+(xm/11.1026-1)*exp(-r*(t-1988)))

     Coefficients (with 95% confidence bounds):

       r =     0.06451  (0.05625, 0.07277)

       xm =       14.42  (14.03, 14.82)

gof =

           sse: 0.0038

       rsquare: 0.9990

           dfe: 12

    adjrsquare: 0.9989

          rmse: 0.0179

   12.8624   12.9498   13.0328

图二  人口模型预测图

结论：当t=2002 时人口为12.8624亿、t=2003时人口为12.9498亿、t=2004时人口为13.0328亿。

误差分析：查询中国人口统计图表得出2002年为12.8亿 、2003年为12.88亿、2004年为12.96亿，发现两者几乎完全一致，Logistic模型的缺点是模型中的参数r和人口总数上限xm很难准确得到，尤其是xm的值还会随着人口发展变化的情况而改变。