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news 2025/8/25 17:24:19

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德鲁特模型的重要等式

首先我们建立德鲁特模型的重要等式

$\vec F_e =m_e \frac{d\vec v}{dt}=-e\vec E-m_e\frac{\vec v}{\tau}$

我们把原子对于电子的阻碍作用，用一个冲量近似表示出来

在式子 $\frac{d\vec v}{dt}=-\frac{e \vec E}{m_e}-\frac{\vec v}{ \tau}$

首先定义一个等效加速度

$\frac{e\vec E}{m_e}=\frac{\vec v_d}{\tau}$

由于

$\vec j=-ne\vec v=-ne\vec v_d=ne(\frac{e\vec E \tau}{m_e})=\sigma_0 \vec E$

我们可以得到电导率的微观表达式 $\sigma_0 =\frac{ne^2 \tau } { m_e }$

在交流电环境中

电场的表达式 $E(t)=E(\omega)e^{i\omega t}$

借鉴上一问的公式

我们可以列出这样的表达式

$m\frac{d\vec v(t)}{dt}=-eE(t)-m_e \frac{\vec v(t)}{\tau}$ ，代入电场的表达式，我们可以得到

$m\frac{E(\omega) de^{-i\omega t}}{dt}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}$

左边求导数，我们可以得到

$-i\omega m_e E(\omega) e^{-i\omega t}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}$

化简可以得到

$m_e \vec v(\omega)e^{-i\omega t}(-i\omega +\frac{1}{\tau})=-e\vec E e^{-i\omega t}$

我们解得

$m_e \vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{(\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

$\vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

解得

$\vec j=-ne\vec v= \frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}\vec E(\omega)$

我们可以得到

$\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}$

这个式子的重要应用就是EM波，电磁波在金属中的传播

$\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}=\frac{\sigma_0}{(1-i\omega \tau)}$

在电磁波的传播中要记住这么几个等式

首先是色散关系表达式

$k^2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon(\omega),\varepsilon(\omega)=1+\frac{i\sigma_0}{\varepsilon_0 \omega(1-i\omega \tau)}$

我们定义plasma frequency

$\omega_p=\sqrt{\frac{n e^2}{ m_e \varepsilon_0}}$

我们可以得到

$\varepsilon(\omega)=1+\frac{\omega_p^{2}}{\omega(\frac{1}{i\tau}-\omega)}$

$\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}$

$if \ \ \ \omega \tau>>1,\omega^2>>\frac{\omega}{\tau}$

$\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}$

$if \ \ \ \omega =\omega_p,\varepsilon(\omega)=0,k=0,\lambda =\frac{2 \pi}{k}=\infty$

the propagation mode with $\omega_p$ 对应于均匀震荡电子气在金属中，这个模式称为等离子震荡模式

给出了电磁波的金属中的传播条件

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