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例1：取S3的子集S = {(12),(123)}，S的生成子群包含哪些元？一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？    

解：（1）S的生成子群就是S3。证明[有不理解之处可以回头看看第27篇笔记中生成子群的定义]：　

任取m,n∈Z，对于m，当m为奇数时，(12)ᵐ = (12)，当m为偶数时，(12)ᵐ = (1)；　

对于n，当n=3k时，(123)ⁿ = (1)，当n=3k+1时，(123)ⁿ = (123)，当n=3k+2时，(123)ⁿ = (132)；　

因此(12)ᵐ o (123)ⁿ的所有可能的值为：(1),(12),(123),(132),(13),(23)这6个，而这6个元素组成的集合正是S3，因此S的生成子群是S3。　

（2）同一个群的两个不同的子集可能会生成相同的子群。例如：　

设S' = {(13),(132)}，则S'的生成子群也是S3（证明同（1）），（1）中的S和（2）中的S'都是群S3的子集，这说明同一个群的两个不同的子集可能会生成相同的子群。　

（3）补充：同一个群的两个不同的子集也有可能生成不同的子群，例如：　

{(12)}和{(13)}都是S3的子集，但两者的生成子群分别是{(1),(12)}和{(1),(13)}，这说明同一个群的两个不同的子集也有可能生成不同的子群。

　

例2：H是G的非空子集，且H中每一个元素的阶均有限，试证：“H是G的子群”当且仅当“对任意的a,b∈H，都有a o b∈H”。　

证明：必要性：根据子群的定义及第一判定定理，可知必要性显然是成立的。

充分性：若对任意的a,b∈H，都有a o b∈H，则当b=a时，有a^2∈H，由此可推出a^3,a^4,……∈H，

又H中每一个元素的阶都是有限的，因此设|a| = n，则a^n = e，从而a的逆元a^(-1) = e o a^(-1) = a^n o a^(-1) = a^(n-1)∈H，

因此根据子群的第一判定定理，可推导出H是G的子群。

 

子群的陪集　

定义1：H是G的子群，且a∈G，则称aH = {ah|h∈H}（Ha = {ha|h∈H}）为子群H的左陪集（右陪集）；若aH = Ha，则称它们为子群的陪集。

　　　

例：已知克莱因四元群K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是四次交错群A₄的子群，即K₄⊆A₄，　

（1）写出S₄中的所有成员；

（2）写出A₄中的所有成员；

（3）求(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄；

（4）求K₄(1),K₄(123),K₄(132)；

（5）比较第（3）问和第（4）问；

（6）求(124)K₄,(134)K₄,(12)(34)K₄,(14)(23)K₄。

解：（1）S₄ = {(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}；

（2）A₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)}；

（3）(1)K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，(123)K₄ = {(123),(243),(142),(134)}，(132)K₄ = {(132),(143),(234),(124)}；

（4）K₄(1) = K₄，K₄(123) = {(123),(134),(243),(142)}，K₄(132) = {(132),(234),(124),(143)}；

（5）①不难发现：

(1)K₄∪(123)K₄∪(132)K₄ = A₄，这是A₄关于K₄的一个左陪集分解；

K₄(1)∪K₄(123)∪K₄(132) = A₄，这是A₄关于K₄的一个右陪集分解。

②经过比较，可发现(1)K₄ = K₄(1)，(123)K₄ = K₄(123)，(132)K₄ = K₄(132)，即(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄和K₄(1),K₄(123),K₄(132)都是K₄的陪集。

③经过比较可发现，(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄和K₄(1),K₄(123),K₄(132)各自的元素个数和K₄一样，都是4，因此不难得出一个结论：左右陪集的阶与子群的阶相等，即：|aK₄| = |K₄a| = |K₄|。

（6）(124)K₄ = {(124),(234),(143),(132)}，

(134)K₄ = {(134),(142),(243),(123)}，

(12)(34)K₄ = {(12)(34),(1),(14)(23),(13)(24)}，

(14)(23)K₄ = {(14)(23),(13)(24),(12)(34),(1)}。

 

（待续......）