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机器学习4 ——熵

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前言

熵衡量随机变量不确定性，由克劳德·香农（Claude Shannon）在1948年提出，称为香农熵。反映了一个系统中信息的混乱程度或信息量。

其定义为：
$$H(P)=-\sum _{x}P(x)logP(x)$$

• 其中：X 是一个随机变量，它有 𝑛 种可能的取值
• P(x)是X 取值为 x的概率。
• 熵 H( P) 表示随机变量 X 的信息不确定性，单位通常是比特（bits）。

如果所有事件发生的概率相等，熵最大。这时系统的不可预测性最高。
如果某个事件的概率为 1（确定发生），熵为 0，这时系统的不可预测性为零。

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香农熵可以用来描述信息传输中的不确定性。假设你正在接收一个信息流：

• 完全不确定：如果每个符号都以相同的概率出现（如一枚公平硬币的正反面），则你无法预测下一个符号，系统的熵最大。
• 完全确定：如果你知道每次接收的符号都是固定的（如一枚失衡硬币总是正面朝上），熵为零，因为你不需要额外的信息去描述这个符号的状态。

熵的概念帮助解释如何对数据进行压缩。熵越高，意味着需要更多的比特来精确编码这些数据。熵越低，数据压缩的潜力越大。

因为数据压缩就是相同的符号不必反复存储（可能不严谨，有人知道更详细可以评论区科普一下！）

二进制随机变量的熵：
考虑一个简单的例子，随机变量 X 代表抛硬币的结果。假设X 只有两个可能的取值，“正面”（1）和"反面"（0），其概率为𝑝(1)=0.5，𝑝(0)=0.5，熵为：

H(X)=−(0.5log 0.5+0.5log 0.5)=−(0.5×（−1）+0.5×（−1)）=1 bit

这个结果意味着，对于一枚公平的硬币，我们需要 1 比特来表示它的结果。

不公平硬币：
如果硬币是偏向的，比如 p(1)=0.9，p(0)=0.1，则熵为：

H(X)=−(0.9log 0.9+0.1log 0.1)≈0.469 bit

由于硬币的结果倾向于 “正面”（1），系统的不确定性减小，熵也减少了。此时我们需要的比特数更少。

信息熵的应用

数据压缩：熵是衡量数据压缩的极限。熵越高，表示数据越难以压缩；熵越低，数据压缩率越高。霍夫曼编码和算术编码等数据压缩算法就是基于熵的原理设计的。
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信息传输：在通信系统中，熵用于估计数据传输中的最小编码长度。一个理想的编码系统应尽可能接近熵的极限。
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机器学习：在决策树算法（如 ID3、C4.5 和 CART）中，熵用于衡量数据集的纯度。决策节点的选择基于信息增益（熵的变化），从而决定哪个特征对划分数据最有价值。
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密码学：在密码学中，熵用于衡量密钥的随机性。熵越高，密钥的随机性和安全性越高。低熵的密钥容易被攻击者预测。
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自然语言处理：熵用于衡量语言中的信息量，帮助理解文本复杂度和压缩潜力。
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经济学：在经济学中，熵理论被应用于市场分析和资源分配，以衡量系统的混乱度和均衡状态。