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news 2025/8/3 9:09:50

黄埭做网站,网站在线制作,百度推广图片尺寸要求,网站源码爬取工具目录正态分布对数正态分布伽马分布伽马函数贝塔函数伽马分布卡方分布 F分布 t分布附录参考文献本文主要介绍一些常见的分布，包括正态分布、对数正态分布、伽马分布、卡方分布、F分布、t分布。给出了分布的定义，推导了概率密度函数&…

正态分布

对数正态分布

伽马分布

伽马函数

贝塔函数

伽马分布

卡方分布

F分布

t分布

附录

参考文献

本文主要介绍一些常见的分布，包括正态分布、对数正态分布、伽马分布、卡方分布、F分布、t分布。给出了分布的定义，推导了概率密度函数，以及函数图像。

正态分布

当 $n=0,\sigma^2=1$ ，称为标准正态分布，即 $X\sim N(0,1)$ 。

对数正态分布

对数正态分布（logarithmic normal distribution）是指一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。对数正态分布从短期来看，与正态分布非常接近。但长期来看，对数正态分布向上分布的数值更多一些。

证明：

假设 $Y$ 服从的正态分布为 $G(x)$ ，概率密度函数为 $g(x)$ ， $X$ 服从的分布为 $F(x)$ ，概率密度函数为 $f(x)$ 。显然有 $G^{'}(x)=g(x),F^{'}(x)=f(x)$ 。

下面证明 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 表达式如上面所示。

一般我们通过分布函数和概率的定义来证明。

$F(x)=P(X\leq x)$ ，因为 $Y=lnX$ ，则 $X=e^Y$ ,

$P(X\leq x)=P(e^Y\leq x)=P(Y\leq lnx)=G(lnx)$

即

$F(x)=G(lnx)$ ，两边对 $x$ 求导，得到：

$\frac{\mathrm{dF(x)} }{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{dG(lnx)} }{\mathrm{d} x}$ ，即：

$f(x)=\frac{g(lnx)}{x}$ ，注意到正态分布概率密度函数 $g(x)$ 如下：

$g(x)$

代入后，可得到 $f(x)$ 表达式如上面所示。

伽马分布

伽马函数

在介绍伽马分布之前，我们先对伽马函数有一个基本理解，伽马函数如下：

$\alpha$ 是自变量。伽马函数图像如下：

伽马函数图像绘制代码，如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gammaif __name__ == '__main__':x = np.linspace(-5, 5, 500) # -5到5之间生成500个点y = gamma(x)    # 计算y的值，也就是伽马函数的值plt.plot(x, y)plt.show()

为了后面方便推导卡方分布，这里我们证明 $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ 。

下面利用标准正态分布的概率密度函数曲线下的面积为1来证明。即：

$\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$

由正态分布对称性，得到

$2\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$

令 $t=\frac{x^2}{2}$ 进行换元，

$2\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t}d\sqrt{2t}=1$

$2\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t}\frac{1}{\sqrt{2t}}dt=1$

$\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi t}}e^{-t}dt=1$

$\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-t}dt=\sqrt{\pi}$

因为伽马函数如下：

知道

$\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0 }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-t}dt=\sqrt{\pi}$

伽马函数还有其他很多的函数表达式，这里不再累述。

贝塔函数

在概率统计和其他应用学科中会经常用到伽玛函数和贝塔函数，有的反常积分的计算最后也会归结为贝塔函数或伽玛函数。贝塔函数又称为第一类欧拉积分，而第二类欧拉积分就是大名鼎鼎的伽玛函数Γ(x。贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外需要注意的是伽玛函数和贝塔函数之间的关系。贝塔函数如下：

贝塔函数是一个积分形式， $\alpha,\beta$ 为参数。

下面推导伽马函数与贝塔函数之间存在的关系。我们先给出他们的关系：

$B(\alpha, \beta )=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}$

由伽马函数：

得到

$\Gamma(\alpha )\Gamma(\beta )=\int_{0}^{+\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt\times\int_{0}^{+\infty}s^{\beta-1}e^{-s}ds$

$=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}t^{\alpha-1}s^{\beta-1}e^{-(t+s)}dtds$

使用如下积分换元 $t=uv,s=u(1-v)$ ，即

$u=s+t,v=\frac{t}{s+t}$

容易得到 $u\in(0,+\infty),v\in(0,1)$ ，并且s=0时，v=1, $s \to +\infty$ 时，v=0。变换前后微元关系如下：

$dtds=\begin{vmatrix} \frac{\partial t}{\partial u} & \frac{\partial t}{\partial v} \\ \frac{\partial s}{\partial u} & \frac{\partial s}{\partial v} \end{vmatrix}dudv=\begin{vmatrix} v & u\\ 1-v & -u \end{vmatrix}dudv$

$=[-uv-u(1-v)]dudv=-ududv$

则换元后，原式如下：

$\Gamma(\alpha )\Gamma(\beta )=$

$=\int_{0}^{+\infty}\int_{1}^{0}(uv)^{\alpha-1}[u(1-v)]^{\beta-1}e^{-u}(-u)dudv$

$=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{1}(uv)^{\alpha-1}[u(1-v)]^{\beta-1}e^{-u}(u)dudv$

$=\int_{0}^{+\infty}u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}du\times\int_{0}^{1}v^{\alpha-1}(1-v)^{\beta-1}dv$

$=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$

即：

$B(\alpha, \beta )=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}$

为了直观地理解贝塔函数，下面我们绘制出贝塔函数的三维曲面图像。代码如下：

import numpy as np
from scipy.special import beta
import matplotlib.pyplot as pltif __name__ == '__main__':# 创建一个网格x, y = np.meshgrid(np.linspace(0.1, 1, 100), np.linspace(0.1, 1, 100))print('x=', '\n', x)print('y=', '\n', y)z = beta(x, y)print('z=', '\n', z)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文fig = plt.figure(figsize=(10, 8))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.tick_params(axis="both", labelsize=12)ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')ax.set_xlabel('x', fontsize=13)ax.set_ylabel('y', fontsize=13)ax.set_zlabel('z')ax.set_title('贝塔函数图像')plt.show()

运行结果，如下：

伽马分布

从定义可以看到，伽马分布的概率密度函数的分母中 $\Gamma(\alpha )$ 就是伽马函数。可以通过scipy提供的统计库stats，绘制出正态分布、对数正态分布、伽马分布的概率密度函数曲线，代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma as gamma_dis
from scipy.stats import lognorm
from scipy.stats import normif __name__ == '__main__':alpha = 2  # 伽马分布的形状参数theta = 2  # 伽马分布的比例参数# 创建一个 sample spacex = np.linspace(0, 10, 200)# 计算概率密度函数 (PDF)gamma_pdf = gamma_dis.pdf(x, alpha, scale=theta)  # 伽马分布概率密度函数log_norm_pdf = lognorm.pdf(x, loc=0, s=1)  # 对数正态分布概率密度函数norm_pdf = norm.pdf(x, loc=0, scale=1)  # 正态分布概率密度函数plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文# 绘制伽马分布曲线plt.plot(x, gamma_pdf)plt.plot(x, log_norm_pdf)plt.plot(x, norm_pdf)plt.legend(['伽马分布', '对数正态分布', '正态分布'])  # 设置图例plt.title('概率密度函数曲线')plt.xlabel('x')plt.ylabel('概率密度函数值')plt.show()

运行结果如下：

伽马分布有如下重要的性质：

（1）设随机变量 $X\sim Ga(\alpha_1,\lambda )$ ， $Y\sim Ga(\alpha_2,\lambda )$ ，且 $X,Y$ 相互独立，则 $Z=X+Y\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda )$ 。

证明：

假设随机变量 $Z$ 的分布为 $F(z)$ ，概率密度函数为 $f_Z(z)$ ，随机变量 $X,Y$ 的概率密度函数分别为 $f_X(x)$ ， $f_Y(x)$ 。两者的联合概率密度函数为 $f_{XY}(x,y)$ ，因为 $X,Y$ 相互独立，显然有：

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(x)$

因为

$X,Y$ 取值都在 $(0,+\infty)$ ，所以 $Z$ 的取值也在 $(0,+\infty)$ ，从而当 $z\leq 0$ 时， $f_Z(z)=0$ 。

当 $z> 0$ 时， $F(z)=P(Z\leq z)=P(X+Y\leq z)$ ，这里将z看成常数，有

$F(z)=\iint_{x+y\leq z}f_{XY}(x,y)dxdy$

$=\iint_{x+y\leq z}f_X(x)f_Y(y)dxdy$

$=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)dx\int_{-\infty}^{z-x}f_Y(y)dy$

使用换元 $t=x+y$ ，将x看陈常数，有

$y\in(-\infty,z-x)$ ，则 $t\in(-\infty,z)$ ，且 $dy=dt$ ，

得到

$F(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)dx\int_{-\infty}^{z}f_Y(t-x)dt$

$F(z)=\int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(t-x)dx]dt$

两边对z求导，得到

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$ 。

这就是卷积公式。因为

$X\sim Ga(\alpha_1,\lambda )$ ， $Y\sim Ga(\alpha_2,\lambda )$ ，代入得到

$f_Z(z)=\int_{0}^{z}\frac{\lambda^{\alpha_1}}{\Gamma(\alpha_1)}x^{\alpha_1-1}e^{-\lambda x}\frac{\lambda^{\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_2)}(z-x)^{\alpha_2-1}e^{-\lambda (z-x)}dx$

$f_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{z}x^{\alpha_1-1}(z-x)^{\alpha_2-1}dx$

使用换元 $x=zt$ ，当 $x\in(0,z)$ 时， $t\in(0,1)$ ，并且 $dx=zdt$ ，则

$f_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}e^{-\lambda z}\int_{0}^{1}(zt)^{\alpha_1-1}(z-zt)^{\alpha_2-1}zdt$

$=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}z^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda z}\int_{0}^{1}t^{\alpha_1-1}(1-t)^{\alpha_2-1}dt$

$=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}z^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda z}B(\alpha_1,\alpha_2)$

根据 $B(\alpha, \beta )=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}$ ，得到

$f_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}z^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda z}$ ，所以

$Z=X+Y\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda )$

卡方分布

假设n个相互独立的随机变量 $X_1,X_2,...,X_n$ ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布） $N(0,1)$ 。则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 $Q=\sum_{i=1}^nX_i^2$ 构成一个新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），记作 $Q\sim \chi^2(n)$ ，n称为卡方分布的自由度（degree of freedom），记作 $df=n$ 。

这个分布由麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831-1879)在研究空气分子的运动速度的分布时发现的，他发现分子运动速度 $v$ 的平方服从自由度为3的卡方分布，即 $v^2\sim \chi^2(3)$ 。后来又有多人提出这种分布，例如弗里德里希·罗伯特·海尔默特(Friedrich Robert Helmert, 1843-1917)于1875年，故卡方分布有时（在德国常见，因海尔默特是德国人）也称海尔默特分布；另外，这一结果被英国生物统计学家、优生学家、数理统计学创始人和社会达尔文主义理论家卡尔·皮尔逊(Karl Pearson, 1857-1936)推广并于1900年发表。

卡方分布 $\chi^2(n)$ 的概率密度函数

$f(x,n)=\frac{x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}$

下面来推导。

（1）当df=1时， $Q=X_1^2$ 。卡方分布的概率密度函数变为：

$f(x,1)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{2x} \Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}$

假设随机变量 $Q$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度函数为 $f(x)$ ，随机变量 $X_1$ 的分布函数为 $F_{X_1}(x)$ ，概率密度函数为 $f_{X_1}(x)$ ，随机变量 $X_2$ 的分布函数为 $F_{X_2}(x)$ ，概率密度函数为 $f_{X_2}(x)$ 。因为 $X_1$ ， $X_2$ 服从标准正态分布，有

$f_{X_1}(x)=f_{X_2}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ 。

因为 $F(x)=P(Q<x)=P(X_1^2<x)=P(-\sqrt{x}<X_1<\sqrt{x})$

$=P(X_1<\sqrt{x})-P(X_1<-\sqrt{x})=F_{X_1}(\sqrt{x})-F_{X_2}(-\sqrt{x})$

两边对x求导，

$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(f_{X_1}(\sqrt{x})+f_{X_2}(-\sqrt{x}))$

因为 $f_{X_1}(x)=f_{X_2}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ ，所以：

$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}})$

即

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}$

事实上，它是 $\alpha=\frac{1}{2},\lambda=\frac{1}{2}$ 的伽马分布，即 $Q\sim Ga(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 。根据如下伽马分布的概率密度函数，很容易得出。

（2）当df=n时， $Q=\sum_{i=1}^nX_i^2$ ，由上面的结论知道， $X_i^2\sim Ga(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 。另外因为 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，所以 $X_1^2,...,X_i^2,...,X_n^2$ 也相互独立。根据之前证明的如下结论：

如果随机变量 $X\sim Ga(\alpha_1,\lambda )$ ， $Y\sim Ga(\alpha_2,\lambda )$ ，且 $X,Y$ 相互独立，则 $Z=X+Y\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda )$ 。

得到 $Q=\sum_{i=1}^nX_i^2$ 服从 $Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ ，代入伽马分布，得到如下卡方分布

$f(x,n)=\frac{x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}$

从结论来看，卡方分布是伽马分布的一个特例，即 $Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 。也就是说

$\chi^2(n)=Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ 。

为了直观的观测卡方分布，下面使用python代码绘制卡方分布曲线。代码如下：

import numpy as np
from scipy.special import beta
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import statsif __name__ == '__main__':# # 创建一个网格# x, y = np.meshgrid(np.linspace(0.1, 1, 100), np.linspace(0.1, 1, 100))# print('x=', '\n', x)# print('y=', '\n', y)# z = beta(x, y)# print('z=', '\n', z)#plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文# fig = plt.figure(figsize=(10, 8))# ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# ax.tick_params(axis="both", labelsize=12)# ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')# ax.set_xlabel('x', fontsize=13)# ax.set_ylabel('y', fontsize=13)# ax.set_zlabel('z')# ax.set_title('贝塔函数图像')# plt.show()X = np.linspace(0.1, 14, 500)plt.subplots(figsize=(8, 5))plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=1), label="1 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=2), label="2 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=4), label="4 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=6), label="6 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=11), label="11 d.o.f")plt.title("卡方分布")plt.legend()plt.show()

代码中绘制了自由度为1，2，3，4，11的5个卡方分布，运行结果如下：

F分布

由卡方分布的定义知道，F分布定义可以转换为：如果 $X\sim \chi^2(n_1)$ , $Y\sim \chi^2(n_2)$ ,则

$F=\frac{X}{n_1}/\frac{Y}{n_2}$ 为F分布。概率密度函数的证明参见参考文献。

代码如下：

    X = np.linspace(0.1, 4, 500)plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 4,4), label="n1=4,n2=4")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 4,10), label="n1=4,n2=10")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 10,4), label="n1=10,n2=4")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 10,10), label="n1=10,n2=10")plt.title("F分布")plt.legend()plt.show()

运行结果如下：

t分布

代码如下：

    plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 设置显示中文后,负号显示受影响,显示负号X = np.linspace(-5, 5, 1500)plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 1), label="n=4")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 2), label="n=2")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 4), label="n=4")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 8), label="n=8")plt.title("t分布")plt.legend()plt.show()

运行结果如下：

附录

本节所有代码如下：

import numpy as np
from scipy.special import beta
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import statsif __name__ == '__main__':# 创建一个网格x, y = np.meshgrid(np.linspace(0.1, 1, 100), np.linspace(0.1, 1, 100))print('x=', '\n', x)print('y=', '\n', y)z = beta(x, y)print('z=', '\n', z)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文fig = plt.figure(figsize=(10, 8))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.tick_params(axis="both", labelsize=12)ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis')ax.set_xlabel('x', fontsize=13)ax.set_ylabel('y', fontsize=13)ax.set_zlabel('z')ax.set_title('贝塔函数图像')plt.show()X = np.linspace(0.1, 14, 500)plt.subplots(figsize=(8, 5))plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=1), label="1 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=2), label="2 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=4), label="4 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=6), label="6 d.o.f")plt.plot(X, stats.chi2.pdf(X, df=11), label="11 d.o.f")plt.title("卡方分布")plt.legend()plt.show()X = np.linspace(0.1, 4, 500)plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 4,4), label="n1=4,n2=4")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 4,10), label="n1=4,n2=10")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 10,4), label="n1=10,n2=4")plt.plot(X, stats.f.pdf(X, 10,10), label="n1=10,n2=10")plt.title("F分布")plt.legend()plt.show()plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 设置显示中文后,负号显示受影响,显示负号X = np.linspace(-5, 5, 1500)plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 1), label="n=4")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 2), label="n=2")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 4), label="n=4")plt.plot(X, stats.t.pdf(X, 8), label="n=8")plt.title("t分布")plt.legend()plt.show()