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正态分布的奇妙性质：为什么奇数阶矩为零？

正态分布（Normal Distribution）是统计学中最常见的分布之一，它的钟形曲线几乎无处不在，从身高体重到测量误差，都能看到它的影子。除了均值和方差这两个核心参数，正态分布还有一个有趣的特性：它的奇数阶中心矩（odd central moments）全部为零，比如 ( $E[x-\mu ]=0$ ) 和 ( $E[(x-\mu {)}^3]=0$ )。这到底是怎么回事？今天我们就来聊聊这个性质的由来、证明，以及它背后的意义。

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什么是中心矩？

在探讨奇数阶矩之前，我们先明白什么是中心矩。中心矩是描述随机变量偏离其均值 ( $\mu$ ) 的统计量，定义为：

$${\mu }_k=E[(x-\mu {)}^k]$$

• ( $k=1$ )：一阶中心矩，( $E[x-\mu ]$ )，总是等于零（因为 ( $E[x]=\mu$ )）。
• ( $k=2$ )：二阶中心矩，就是方差 ( ${\sigma }^2$ )。
• ( $k=3$ )：三阶中心矩，衡量分布的偏度（skewness）。
• ($k=4$ )：四阶中心矩，与峰度（kurtosis）相关。

对于正态分布，我们关心的是这些矩的特性，尤其是奇数阶（( $k=1,3,5,\dots$ )）的中心矩。

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正态分布的奇数阶矩为零

正态分布的概率密度函数为：

$$p(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

它的一个显著特点是对称性：以均值 ( $\mu$ ) 为中心，左右两侧完全对称。这种对称性直观地暗示了一个结论：奇数阶中心矩为零。为什么呢？

通俗解释

想象你在玩一个对称的跷跷板，中间是均值 ( $\mu$ )。你把 ( $x-\mu$ )（偏离均值的距离）拿来计算奇数次方，比如 ( $(x-\mu {)}^3$ )。因为正态分布是对称的，对于每一个正的 ( $x-\mu$ )（比如 +2），总有一个对应的负的 ( $-(x-\mu )$ )（比如 -2），它们的概率密度相等。奇数次方会保留正负号：

• ( $(+2{)}^3=8$ )
• ( $(-2{)}^3=-8$ )

当你把这些值按概率加权平均时，正负项正好抵消，结果为零。这种对称性是奇数阶矩为零的直观原因。

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数学证明

现在，让我们用数学来证明这个性质。以 ( $k=3$ )（三阶中心矩）为例，证明 ( $E[(x-\mu {)}^3]=0$ )，其他奇数阶的证明类似。

步骤 1：定义期望

对于 ( $x\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ )，三阶中心矩是：

$$E[(x-\mu {)}^3]={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)dx$$

步骤 2：变量替换

为了简化计算，令 ( $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ )，则 ( $x-\mu =\sigma z$ )，( $dx=\sigma dz$ )，且 ( $z\sim N(0,1)$)（标准正态分布），概率密度为：

$$\varphi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

代入后：

$$E[(x-\mu {)}^3]={\int }_{-\infty }^{\infty }(\sigma z{)}^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\cdot \sigma dz$$

$$={\sigma }^3{\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz$$

步骤 3：分析被积函数

被积函数是 ( $f(z)=z^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$ )。我们需要判断这个积分是否为零。关键在于 ( $f(z)$ ) 的性质：

• ( $z^3$ ) 是奇函数（odd function），因为 ( $(-z{)}^3=-z^3$ )。
• ( $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$ ) 是偶函数（even function），因为 ( $e^{-\frac{(-z{)}^2}{2}}=e^{-\frac{z^2}{2}}$ )。

奇函数乘以偶函数的结果还是奇函数：

$$f(-z)=(-z{)}^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(-z{)}^2}{2}}=-z^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}=-f(z)$$

步骤 4：奇函数积分的性质

对于任意奇函数 ( $f(z)$ )，在对称区间 ( $[-\infty ,\infty ]$ ) 上积分（假设积分收敛）：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(z)dz={\int }_{-\infty }^{0}f(z)dz+{\int }_0^{\infty }f(z)dz$$

令 ( $u=-z$ )，则：

$${\int }_{-\infty }^{0}f(z)dz={\int }_{\infty }^{0}f(-u)(-du)={\int }_0^{\infty }-f(u)du=-{\int }_0^{\infty }f(u)du$$

所以：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(z)dz=-{\int }_0^{\infty }f(z)dz+{\int }_0^{\infty }f(z)dz=0$$

对于 ( $f(z)=z^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$ )，由于 ( $e^{-\frac{z^2}{2}}$ ) 衰减很快，积分收敛，奇函数性质保证：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz=0$$

因此：

$$E[(x-\mu {)}^3]={\sigma }^3\cdot 0=0$$

推广到所有奇数阶

对于任意奇数 ( $k=2n+1$ )（( $n=0,1,2,\dots$ )），( $(x-\mu {)}^{2n+1}$ ) 是奇函数，乘以偶函数 ( $\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ ) 后仍为奇函数，积分从 ( $-\infty$ ) 到 ( $\infty$ ) 为零。所以，所有奇数阶中心矩都为零。

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补充信息

1. 为什么偶数阶矩不为零？

偶数次方（如 ( $(x-\mu {)}^2$ ) 或 ( $(x-\mu {)}^4$ )）是偶函数，乘以偶函数后仍是偶函数，积分不会抵消。例如：

• ( $E[(x-\mu {)}^2]={\sigma }^2$ )（方差）
• ( $E[(x-\mu {)}^4]=3{\sigma }^4$ )（四阶矩）

这些值反映了分布的宽度和形状。

2. 偏度的含义

三阶中心矩 ( $E[(x-\mu {)}^3]$ ) 与偏度相关。偏度为零意味着分布没有左偏或右偏，正态分布的对称性恰好保证了这一点。如果分布不对称（例如指数分布），奇数阶矩就不为零。

3. 在统计中的应用

奇数阶矩为零在统计推断中很有用。例如，在计算Fisher信息矩阵时：

$$I_{12}=E\left[\frac{x-\mu }{{\sigma }^2}\cdot \left(-\frac{1}{2{\sigma }^2}+\frac{(x-\mu {)}^2}{2({\sigma }^2{)}^2}\right)\right]$$

因为 ( $E[x-\mu ]=0$ ) 和 ( $E[(x-\mu {)}^3]=0$ )，交叉项为零，说明 ( $\mu$ ) 和 ( ${\sigma }^2$ ) 信息正交。
具体参考参考笔者的另一篇博客：Fisher信息矩阵（Fisher Information Matrix，简称FIM）

4. 其他分布呢？

并非所有分布的奇数阶矩都为零。例如：

• 指数分布 ( $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ )（( $x\ge 0$ )），( $E[(x-\mu {)}^3]\ne 0$ )，因为它右偏。
• 对称的均匀分布也有奇数阶矩为零，但范围有限。

正态分布的无限对称支持和指数衰减共同造就了这个特性。

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总结

正态分布的奇数阶中心矩为零源于其完美的对称性。奇函数与偶函数相乘后，积分在对称区间上抵消，数学上严谨地证明了这一点。这个性质不仅让正态分布更加“优雅”，还在统计估计、信息理论中简化了计算，比如保证参数间的正交性。下次看到正态分布的钟形曲线，不妨想想它隐藏的这些奇妙特性！

后记

2025年2月24日22点07分于上海，在Grok3大模型辅助下完成。