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1. 集合
1.1 集合的由来和确定性
确定对象构成的整体称为集合（组成集合的元素必须是确定的 ），每个集合内的对象个体成为元素(Element)。确定性： 给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合内的元素，就已经确定了。
比如，我国的四大发明，造纸术，印刷术，火药，指南针。就是一个明确的构成，这个集合就是四大发明。
四大发明 = {造纸术，印刷术，火药，指南针}
每个集合内的元素，使用逗号隔开。
元素和集合之间，存在 属于/不属于 两种关系，拿上面的四大发明集合来讲，比如：
造纸术属于四大发明集合；手机不属于四大发明集合；
火药属于四大发明集合；机关枪不属于四大发明集合；
为了方便书写，采用方便的符号形式来进行代替。
属于： ∈ 不属于： ∉
在用上述的例子，替换为符号就是
造纸术 ∈ 四大发明集合；手机 ∉ 四大发明集合；
火药 ∈ 四大发明集合；机关枪 ∉ 四大发明集合；
如果给定一个集合， {大学计算机系所有的高个子学生}，那么这就是一个没有办法确定的内容，不能形成一个集合。你没办法明确知道高个子到底是多高。 如果是 {大学计算机系所有身高 > 170的高个子学生}，那么这就给我们划分了一个很明确的界限，大于 170 cm 的同学，都可以被划分为高个子学生列表。那么就能形成一个集合。
测试题
1. 大于 3 小于 11 的偶数。 （是）
2. 我国的小河流。 （不是）
3. 所有的正方形。 （是）
4. 本班跑步很快的同学。 （不是）
5. 与1接近的实数的全体。 （不是）
6. 1——10以内的全体质数。 （是）
总结
1. 集合是一个由确定对象构成的整体。
2. 集合内的对象称为元素（Element）。
3. 属于 ∈ / 不属于 ∉
4. 集合的确定性，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合内的元素，就已经确定了。
5. 可见，对于给定一个集合和给定一个对象，这个对象是否为这个集合的元素，只有 “是” 与 “不是”，这两种情况，这就是集合中元素
所具有的确定性。
1.2 集合中元素的特性
-
确定性
借鉴上面。 -
互异性
在集合中，集合内的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的。
因为集合中的元素是没有重复现象的，所以任何两个相同的元素在同一集合内，只能算作这个集合中的一个元素。
- 无序性
集合与其中元素的排列次序无关，也就是说集合中的元素是不排序的。
例如： {1, 2} 也可以写成 {2, 1}，他们两个是一样的。
1.3 常见数集
1.3.1 学习目标
- 理解常见数集的定义。
- 熟记常见数集的符号。
- 会判断数字与不同数集之间的关系。
1.3.2 自然数（Natural Number) 用以计量事物的件数 ： N
自然数英语为 Natural Number， 所以用 大写 N 来表示自然数集。
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
在1993年对于自然数集做了重新定义，定义为：
- 不小于 0 的所有整数叫 自然数集 / 非负整数 的集，也就是说，0 也是自然数集内的元素
扩展，在中国大陆2000年后的数学教材，自然数集内都包括 0。
在N后做一些特殊标记也有不同的意义，比如:
- N* : 除0意外的自然数集
- N+ : （+可以在N上面，也可以在N下面）正自然数集。
- 以此类推…
1.3.2 整数集（Whole Number）: Z
整数并没有用 W 来表示整数集，有一种说法是：德国女数学家，诺特 （1882-1935）德意志数学家，抽象代数的奠基人，她提出的整数环对于整数有重大的意义 所以整数取得是德语 Zahlen（支付，数字）的首字母，Z。
Z = {0, 1, -1, 2, -2....}
1.3.3 分数 （两个整数之比 — 商）
分数，指的是两个整数之比，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了万物皆数的概念，还发现了著名的黄金比例。他们认为，整数和分数，就可以解释整个世界了。
1.3.4 有理数：两个整数之比 — 商(Quotient) : Q
所以，有理数采用商的首字母，Q来表示有理数集。准确来说。有理数包括整数和分数
- Q = {整数和非零整数的比}
整数也可以表示成 9/1 (一分之九)，8/1，5/1。 分数也可以表示为， 1/2， 3/8， 1/3
1.3.5 无理数：根号二是有理数吗？
并不是，常见的无理数有，开不尽的根号。 根号3，根号5，根号7，根号9.1 …, 无限不循环小数 Π = 3.1415926535…，自然数e等。不过到目前为止，无理数还没有统一的字幕表示。所有的有理数 + 无理数就是实数。
1.3.6 实数（Real Number）：R
实数集是所有的有理数 + 无理数，实数集是目前所学的最大的数集。我们所有学习过的数字都在这个集合里面。
1.3.7 练习题
用符号 “∈” 或者 “∉”填空。
1. 5__N, -5__N, 0__N2. 3__Z, -3__Z, 3.1__Z3. 3.14__Q, Π__Q, 根号2__Q4. Π__R, 3.1__R, 根号三__R
答案
N是自然数集，大于切等于0的整数都是数集内的内容1. ∈，∉，∈Z是整数集，大于小于等于0的所有整数都属于集合内的内容。2. ∈，∈，∉Q是有理数集，也就是两数之比和所有的整数（小数，分数，正整数，负整数，0）3. ∈，∉，∉R是实数集，包括了N，Z，Q，无理数集，是学习过的最大的数集4. ∈，∈，∈
特殊符号集
1. 0__N+, 0__Z+, 0__R*
2. -3__Z+, -3__Z-, -3__Z*
答案
在数集后面跟 + 表示数集内的所有正数对象， - 表示所有的复数对象，R表示0除外的所有对象
3. ∉，∉，∉
4. ∉，∈，∈
1.3.8 总结
学习了各个数集。总结内容如下
- N(自然数集) < Z(整数集) < Q(有理数集) < R(实数集）,实际上是不能这样表示的，需要稍微改造一下。
- N(自然数集) ∈ Z(整数集) ∈ Q(有理数集) ∈ R(实数集)