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渐近符号

渐近记号$\Omega$

  $f(n)=\Omega (g(n))$ 当且仅当存在正的常数C和$n_0$，使得对于所有的$n\ge n_0$ ，有$f(n)\ge C(g(n))$。此时，称$g(n)$是 $f(n)$的下界。
  根据符号$\Omega$的定义，用它评估算法的复杂度得到的是问题规模充分大时的一个下界。这个下界的阶越高，评估越精确，越有价值。

例：设$f(n)=n^2+n$,则
$f(n)=\Omega (n^2)$，取$c=1,n_0=1$ 即可
$f(n)=\Omega (100n)$，取$c=1/100,n_0=1$ 即可
显然，$\Omega (n^2)$作为下界更为精确。

渐进记号$\Theta$

  $f(n)=\Theta (g(n))$ 当且仅当存在正常数和$C_1,C_2,n_0$，使得对于所有的$n\ge n_0$, 有$C_1(g(n))\le f(n)\le C_2(g(n))$。此时，称$f(n)$与$g(n)$同阶。
  这种渐进符号是指，当问题规模足够大的时候，算法的运行时间将主要取决于时间表达式的第一项，其它项的执行时间可以忽略不计。第一项的常数系数，随着n的增大，对算法的执行时间也变得不重要了。

例：$3n+2=\Theta (n)$
$10n^2+4n+2=\Theta (n^2)$
$5\times 2^n+n^2=\Theta (2^n)$

渐进记号小$o$

  $f(n)=o(g(n))$当且仅当$f(n)=o(g(n))$和$g(n)\ne o(f(n))$，此时，$g(n)$是$f(n)$的一个绝对上界。
  小$o$提供的上界可能是渐近紧确的，也可能是非紧确的。（如：$2n^2=o(n^2)$是渐近紧确的，而$2n=o(n^2)$是非紧确上界。

例：$4nlogn+7=o(n^2)$

渐进记号小$\omega$

  $f(n)=\omega (g(n))$当且仅当$f(n)=\omega (g(n))$和$g(n)\ne \omega (f(n))$，此时，$g(n)$是$f(n)$的一个绝对下界。
  $\omega$表示一个非渐进紧确的下界。

例：$f(n)=n^2+n$，则$f(n)=$\omega$(n)$是正确的，$f(n)=$\omega$(n^2)$是错误的。

渐进记号大$\mathrm{O}$

  设$f(n)$和$g(n)$ 是定义域为自然数集上的函数。若存在正数$c$和$n_0$c和n_0c，使得对一切$n\ge n_0$ 都有$0\le f(n)\le cg(n)$成立，则称$f(n)$的渐进的上界是$g(n)$，记作$f(n)=\mathrm{O}g(n)$。
  根据符号大$\mathrm{O}$的定义，用它评估算法的复杂度得到的只是问题规模充分大时的一个上界。这个上界的阶越低，评估越精确，越有价值。

例：设$f(n)=n^2+n$，有
$f(n)=\mathrm{O}(n^2)$，取$c=2,n_0=1$即可
$f(n)=\mathrm{O}(n^3)$，取$c=1,n_0=2$即可

常见的时间复杂度关系

O(1)<O(log(n))<O(n)<O(nlogn)<O(n^{2})

  $O(2^n)$和$O(n!)$大于以上的所有时间复杂度，具体原因参考图像。

时间复杂度计算：递归方程

  加、减、乘、除、比较、赋值等操作，一般被看作是基本操作，并约定所用的时间都是一个单位时间；通过计算这些操作分别执行了多少次来确定程序总的执行步数。一般来说，算法中关键操作的执行次数决定了算法的时间复杂度。
  比较简单的算法时间复杂性估计通常需要观察在for、while循环中的关键操作执行次数，在这里我们只讨论一种比较复杂的时间复杂度计算问题：求递归方程解的渐近阶的方法。递归式就是一个等式，代表了递归算法运算时间和n的关系，通过更小输入的函数值来描述一个函数。那么如何求得递归算法的Θ渐进界呢？主要有三种方法。

代入法

  代入法是指自己猜测一个界，然后用数学归纳法进行验证是否正确，这种猜测主要靠经验，不常用。

迭代法

  迭代法是指循环地展开递归方程，然后把递归方程转化为和式，使用求和技术解之。

套用公式法

  这个方法为估计形如：$T(n)=aT(n/b)+f(n)$ 的递归方程解的渐近阶提供三个可套用的公式。要求其中的a≥1和b>1是常数，f(n)是一个确定的正函数。那么在三种情况下，我们可以得到T(n)的渐进估计式，懒得打公式，所以截图。